Упр.12.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 10. Найдите биссектрисы треугольника в задаче 1.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=5\text{ м},\ BC=6\text{ м},\ AC=7\text{ м}.$$ Проведём биссектрисы $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1.$$

По формуле для косинусов углов треугольника получаем:

$$\cos \angle A=\frac{19}{35},\qquad \cos \angle B=\frac{1}{5},\qquad \cos \angle C=\frac{5}{7}.$$

По свойству биссектрисы:

$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7},\qquad \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC}{BA}=\frac{6}{5},\qquad \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{6}.$$

Отсюда находим части сторон:

$$BA_1=\frac{5}{5+7}\cdot BC=\frac{5}{12}\cdot 6=\frac{5}{2}\text{ м},$$

$$CB_1=\frac{6}{6+5}\cdot AC=\frac{6}{11}\cdot 7=\frac{42}{11}\text{ м},$$

$$AC_1=\frac{7}{7+6}\cdot AB=\frac{7}{13}\cdot 5=\frac{35}{13}\text{ м}.$$

Теперь найдём длины биссектрис по теореме косинусов.

1) В треугольнике $$AC_1C$$:

$$CC_1^2=AC^2+AC_1^2-2\cdot AC\cdot AC_1\cdot \cos \angle A,$$

$$CC_1^2=7^2+\left(\frac{35}{13}\right)^2-2\cdot 7\cdot \frac{35}{13}\cdot \frac{19}{35} =\frac{6048}{169}.$$

Следовательно,

$$CC_1=\sqrt{\frac{6048}{169}}=\frac{12\sqrt{42}}{13}\text{ м}.$$

2) В треугольнике $$BA_1A$$:

$$AA_1^2=AB^2+BA_1^2-2\cdot AB\cdot BA_1\cdot \cos \angle B,$$

$$AA_1^2=5^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot 5\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{1}{5} =\frac{105}{4}.$$

Значит,

$$AA_1=\sqrt{\frac{105}{4}}=\frac{\sqrt{105}}{2}\text{ м}.$$

3) В треугольнике $$CB_1B$$:

$$BB_1^2=BC^2+CB_1^2-2\cdot BC\cdot CB_1\cdot \cos \angle C,$$

$$BB_1^2=6^2+\left(\frac{42}{11}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{42}{11}\cdot \frac{5}{7} =\frac{2160}{121}.$$

Следовательно,

$$BB_1=\sqrt{\frac{2160}{121}}=\frac{12\sqrt{15}}{11}\text{ м}.$$

Ответ

$$CC_1=\frac{12\sqrt{42}}{13}\text{ м},\quad AA_1=\frac{\sqrt{105}}{2}\text{ м},\quad BB_1=\frac{12\sqrt{15}}{11}\text{ м}.$$