Вопрос 10 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Пусть $$a$$ — данная прямая и $$A$$ — точка на ней. Обозначим через $$a_1$$ одну из полупрямых прямой $$a$$ с началом в точке $$A$$.
Отложим от полупрямой $$a_1$$ в одной из полуплоскостей угол $$\angle a_1b_1=90^\circ$$. Тогда прямая, содержащая луч $$b_1$$, перпендикулярна прямой $$a$$.
Докажем, что такая прямая единственна. Предположим, что через точку $$A$$ проходит ещё одна прямая, перпендикулярная прямой $$a$$. Обозначим через $$c_1$$ её полупрямую, лежащую в той же полуплоскости, что и $$b_1$$.
Тогда углы $$\angle a_1b_1$$ и $$\angle a_1c_1$$ равны $$90^\circ$$ и отложены в одну и ту же полуплоскость от полупрямой $$a_1$$. Но в данной полуплоскости от полупрямой $$a_1$$ можно отложить только один угол, равный $$90^\circ$$. Значит, лучи $$b_1$$ и $$c_1$$ совпадают, а следовательно, совпадают и соответствующие прямые.
Итак, через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.
