Упр.15.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ попарно перпендикулярны. Найдите отрезок $$CD$$, если:
1) $$AB=3\ \text{см}$$, $$BC=7\ \text{см}$$, $$AD=1{,}5\ \text{см}$$;
2) $$BD=9\ \text{см}$$, $$BC=16\ \text{см}$$, $$AD=5\ \text{см}$$;
3) $$AB=b$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$;
4) $$BD=c$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$.
Так как прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ попарно перпендикулярны, то треугольники $$ABC$$, $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные с прямым углом при $$A$$.
По теореме Пифагора:
$$BC^2=AB^2+AC^2,$$
$$BD^2=AB^2+AD^2,$$
$$CD^2=AC^2+AD^2.$$
1) $$AB=3$$ см, $$BC=7$$ см, $$AD=1{,}5$$ см.
$$AC^2=BC^2-AB^2=7^2-3^2=49-9=40,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{40+1{,}5^2}=\sqrt{40+2{,}25}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\text{ см}.$$
2) $$BD=9$$ см, $$BC=16$$ см, $$AD=5$$ см.
$$AB^2=BD^2-AD^2=9^2-5^2=81-25=56,$$
$$AC^2=BC^2-AB^2=16^2-56=256-56=200,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{200+5^2}=\sqrt{200+25}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$
3) $$AB=b,$$ $$BC=a,$$ $$AD=d.$$
$$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-b^2,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-b^2+d^2}.$$
4) $$BD=c,$$ $$BC=a,$$ $$AD=d.$$
$$AB^2=BD^2-AD^2=c^2-d^2,$$
$$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-(c^2-d^2)=a^2-c^2+d^2,$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-c^2+d^2+d^2}=\sqrt{a^2-c^2+2d^2}.$$
Ответ: $$1)\\ 6{,}5\text{ см};\quad 2)\\ 15\text{ см};\quad 3)\\ \sqrt{a^2-b^2+d^2};\quad 4)\\ \sqrt{a^2-c^2+2d^2}.$$
