Вопрос 10 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: у любого треугольника по крайней мере два угла острые;
Доказательство:
1) Пусть дан некий треугольник ABC, у готорого два угла прямые или
тупые, то есть больше или равны 90°;
2) Согласно теореме 4.4 сумма углов треугольника равна 180°, значит:
угол A+ угол B+ угол C=180°;
3) Однако, так как два угла больше или равны 90°, то сумма этих
углов будет больше или равна 180°;
4) Если сумма двух углов треугольника равна 180°, то оставшийся
угол будет равен нулю, что противоречит основному свойству углов;
5) Таким образом, у треугольника может быть только один прямой
или тупой угол, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Предположим, что в треугольнике $$ABC$$ не менее двух углов не острые, то есть каждый из них равен или больше $$90^\circ$$.

По теореме о сумме углов треугольника имеем:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Но сумма двух углов, каждый из которых не меньше $$90^\circ$$, не меньше $$180^\circ$$. Тогда третий угол должен быть равен $$0^\circ$$ или быть отрицательным, что невозможно, так как каждый угол треугольника положителен.

Следовательно, в треугольнике не может быть двух прямых или тупых углов. Значит, по крайней мере два угла треугольника острые.