Вопрос 10 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника.

Подробный ответ

Пусть $$AB=a$$ — сторона правильного $$n$$-угольника, а $$\beta$$ — половина его центрального угла. Обозначим через $$O$$ центр многоугольника, а через $$C$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на сторону $$AB$$.

Тогда $$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}$$, а так как $$OC$$ — высота равнобедренного треугольника $$AOB$$, то она является и медианой, и биссектрисой. Следовательно,

$$CB=\frac{a}{2}, \qquad \beta=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{180^\circ}{n}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCB$$.

Радиус вписанной окружности равен $$r=OC$$, поэтому

$$\tg \beta=\frac{CB}{OC} \quad \Rightarrow \quad r=OC=\frac{CB}{\tg \beta}=\frac{a/2}{\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Значит,

$$r=\frac{a}{2\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Радиус описанной окружности равен $$R=OB$$, поэтому

$$\sin \beta=\frac{CB}{OB} \quad \Rightarrow \quad R=OB=\frac{CB}{\sin \beta}=\frac{a/2}{\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Следовательно,

$$R=\frac{a}{2\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$