Вопрос 10 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$, где $$D\in AB$$.

Тогда $$BD$$ — проекция катета $$BC$$ на гипотенузу $$AB$$, а $$AD$$ — проекция катета $$AC$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CBD$$. У них:

• $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle CDB=90^\circ$$;
• $$\angle B$$ — общий.

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle CBD$$. Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$$

Отсюда

$$BC^2=AB\cdot BD,$$

то есть

$$BC=\sqrt{AB\cdot BD}.$$

Аналогично, треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ подобны, так как:

• $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle CDA=90^\circ$$;
• $$\angle A$$ — общий.

Значит,

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$$

и поэтому

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

то есть

$$AC=\sqrt{AB\cdot AD}.$$

Итак, каждый катет прямоугольного треугольника равен среднему пропорциональному между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.