Вопрос 10 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Вывести: формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей
правильного n- угольника;
Решение:
1) Пусть AB=a-сторона правильного n- угольника и бетта-половина
его центрального угла;
2) Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B, они
пересекутся в некоторой точке O;
3) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB и углами при
основании, равными a/2, где a- угол многоугольника;
4) Как было доказано в контрольном вопросе номер 8, точка O является
центром многоугольника, значит AOB-центральный угол, отсюда:
угол AOB=(360°)/n;
5) Проведем высоту OC треугольника AOB, она является также медианой
и биссектрисой, значит:
CB=a/2 и бетта=1/2• угол AOB=(180°)/n;
6) Рассмотрим прямоугольный треугольник OCB.

Подробный ответ

Пусть $$AB=a$$ — сторона правильного $$n$$-угольника, а $$\beta$$ — половина его центрального угла.

Проведём биссектрисы углов многоугольника из вершин $$A$$ и $$B$$. Они пересекутся в точке $$O$$. Тогда $$O$$ — центр правильного многоугольника, а треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Так как $$\angle AOB$$ — центральный угол правильного $$n$$-угольника, то

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Высота $$OC$$ треугольника $$AOB$$ является также медианой и биссектрисой, поэтому

$$CB=\frac{a}{2}, \qquad \beta=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{180^\circ}{n}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCB$$. Тогда для радиуса описанной окружности $$R=OB$$ имеем

$$\sin\beta=\frac{CB}{OB}, \qquad R=OB=\frac{CB}{\sin\beta}=\frac{a/2}{\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Следовательно,

$$R=\frac{a}{2\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Для радиуса вписанной окружности $$r=OC$$ получаем

$$\tg\beta=\frac{CB}{OC}, \qquad r=OC=\frac{CB}{\tg\beta}=\frac{a/2}{\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Значит,

$$r=\frac{a}{2\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$