Упр.9.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис. 209).

Пусть даны прямые $$OB$$ и $$OC$$, пересекающиеся в точке $$O$$, и точка $$A$$, не лежащая на этих прямых.

1. Построим точку $$O’$$, симметричную точке $$O$$ относительно точки $$A$$. Для этого проведём окружность с центром в $$A$$ и радиусом $$AO$$; точка пересечения этой окружности с прямой $$AO$$, лежащая по другую сторону от $$A$$, и будет точкой $$O’$$.
2. Аналогично построим точки $$B’$$ и $$C’$$, симметричные соответственно точкам $$B$$ и $$C$$ относительно точки $$A$$.
3. Проведём прямые $$O’B’$$ и $$O’C’$$. Они параллельны прямым $$OB$$ и $$OC$$ соответственно.
4. Обозначим $$E=OC\cap O’B’$$ и $$F=OB\cap O’C’$$.

Четырёхугольник $$OEO’F$$ — параллелограмм, так как $$OE \parallel O’F$$ и $$EO’ \parallel OF$$. Следовательно, точка $$A$$, являясь серединой диагонали $$OO’$$, является и серединой диагонали $$EF$$.

Значит, отрезок $$EF$$ имеет концы на данных прямых $$OB$$ и $$OC$$ и проходит через точку $$A$$ как через середину.

Искомый отрезок: $$EF$$.