Упр.5.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: хорда AB, равная радиусу окружности, и касательные в
точках A и B;
Найти: угол между касательными;
Решение:
1) В треугольнике AOB все три стороны равны радиусу окружности,
значит он равносторонний, тогда угол BAO = углу ABO=60°;
2) Пусть касательные пересекаются в точке D, тогда:
угол DAO = углу DBO=90°;
3) угол DAB = углу DAO- угол BAO = углу DBO- угол AOB = углу DBA;
угол DAB = углу DBA=90°-60°=30°;
4) Рассмотрим треугольник ADB:
угол ADB=180°- угол DAB- угол DBA=180°-30°-30°=120°;
Ответ: 120°.

Подробный ответ

Пусть касательные к окружности в точках $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$D$$, а $$O$$ — центр окружности.

Так как $$AB$$ равно радиусу окружности, то $$OA=OB=AB$$. Следовательно, треугольник $$AOB$$ равносторонний, и

$$\angle BAO=\angle ABO=60^\circ.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$\angle DAO=\angle DBO=90^\circ.$$

Тогда в треугольниках $$AOD$$ и $$BOD$$

$$\angle DAB=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle DBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADB$$:

$$\angle ADB=180^\circ-\angle DAB-\angle DBA=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Итак, угол между касательными равен $$120^\circ$$.