Вопрос 1 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите первый признак равенства треугольников.
- Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$
Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
Отложим на луче $$A_1B_1$$ от точки $$A_1$$ отрезок $$A_1B_2=A B$$. Затем в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$, где лежит точка $$C_1$$, отложим угол, равный $$\angle A$$, и на его стороне отложим отрезок $$A_1C_2=AC$$. Тогда получим треугольник $$A_1B_2C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$ по построению.
Так как $$A_1C_1=A_1C_2$$ и точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат на одном луче, то $$C_1$$ и $$C_2$$ совпадают. Следовательно, совпадают и точки $$B_1$$ и $$B_2$$, а значит, треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_1B_2C_2$$ совпадают. Поэтому $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$$.
Итак, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Это и есть первый признак равенства треугольников.
При доказательстве используются:
- аксиома откладывания отрезка на луче от его начальной точки;
- аксиома откладывания угла от луча в заданной полуплоскости.
