Вопрос 1 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Первый признак равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
то такие треугольники равны;
I) Отобразим условие задачи:
Доказательство:
1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1: угол A = углу A1, AB=A1 B1 и
AC=A1 C1, докажем, что эти треугольники равны;
2) Пусть A1 B2 C2-треугольник, равный треугольнику ABC, с
вершиной B2 на луче A1 B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости
относительно прямой A1 B1, где лежит вершина C1;
3) Так как A1 C1=A1 C2, то вершина B2 совпадает с вершиной B1;
4) Так как угол B1 A! C = углу B2 A1 C2, то луч A1 C2 совпадает с лучом A1 C1;
5) Так как A1 C1=A1 C2, то вершина C2 совпадает с вершиной C1;
6) Таким образом, треугольник A1 B1 C1 совпадает с треугольником
A1 B2 C2, значит он равен треугольнику ABC, что и требовалось доказать.
II) Для доказательства использовались аксиомы:
Аксиома откладывания отрезков на луче от его начальной точки (VI);
Аксиома откладывания углов от луча в заданной полуплоскости (VII);

Подробный ответ

Первый признак равенства треугольников формулируется так: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажем это. Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_1B_2C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$, так, чтобы точка $$B_2$$ лежала на луче $$A_1B_1$$, а точка $$C_2$$ — в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$, что и точка $$C_1$$.

Так как $$AB=A_1B_1$$, то на луче $$A_1B_1$$ точка $$B_2$$ совпадает с точкой $$B_1$$.

Кроме того, $$\angle B_1A_1C_1=\angle B_2A_1C_2$$, а значит, луч $$A_1C_2$$ совпадает с лучом $$A_1C_1$$.

Но $$AC=A_1C_1$$, следовательно, точка $$C_2$$ совпадает с точкой $$C_1$$.

Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ совпадает с треугольником $$A_1B_2C_2$$, а значит, он равен треугольнику $$ABC$$. Теорема доказана.

Для доказательства использованы аксиомы: