Упр.13.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Даны две окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$, расстояние между центрами которых $$d>R_1+R_2$$. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей?
Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$, где $$O_1O_2=d$$. Пусть $$X$$ — точка первой окружности, а $$Y$$ — точка второй.
Так как $$d>R_1+R_2$$, окружности не пересекаются и не касаются.
Для наименьшего расстояния рассмотрим ломаную $$O_1XYO_2$$. По неравенству треугольника
$$O_1O_2\le O_1X+XY+YO_2.$$
Так как $$O_1X=R_1$$ и $$YO_2=R_2$$, получаем
$$d\le R_1+XY+R_2,$$
откуда
$$XY\ge d-R_1-R_2.$$
Значит, наименьшее расстояние между точками окружностей равно $$d-R_1-R_2$$.
Для наибольшего расстояния рассмотрим ломаную $$XO_1O_2Y$$. Тогда
$$XY\le XO_1+O_1O_2+O_2Y.$$
Подставляя $$XO_1=R_1$$, $$O_1O_2=d$$ и $$O_2Y=R_2$$, получаем
$$XY\le R_1+d+R_2.$$
Следовательно, наибольшее расстояние между точками окружностей равно $$d+R_1+R_2$$.
Ответ: наибольшее расстояние $$d+R_1+R_2$$, наименьшее расстояние $$d-R_1-R_2$$.
