Упр.5.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает
окружность в одной точке;
Доказательство:
1) Пусть даны окружность с центром в точке O и произвольным
радиусом, а также луч OA, исходящий из ее вершины;
2) На луче OA отложим отрезок OB, равный радиусу окружности;
3) На луче от его вершины можно построить только один отрезок
заданной длины, значит точка B единственная;
4) Окружность состоит из всех точек, равноудаленных от ее центра,
а так как точка B удалена от точки O на расстояние радиуса
окружности, то она также принадлежит этой окружности;
5) Таким образом, данные луч и окружность пересекаются в единст-
венной точке B, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть дана окружность с центром в точке $$O$$ и луч $$OA$$, исходящий из центра.

Отложим на луче $$OA$$ отрезок $$OB$$, равный радиусу окружности. На луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины только одним способом, значит точка $$B$$ единственна.

Так как $$OB$$ равен радиусу окружности, то точка $$B$$ принадлежит окружности, ведь окружность состоит из всех точек, равноудалённых от центра на расстояние радиуса.

Следовательно, луч $$OA$$ пересекает окружность в точке $$B$$. Поскольку точка $$B$$ единственна, то любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.