Проверьте себя №1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Задание № 1. «Проверьте себя»
- Какое из равенств верно?
А) $$\cos(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$
В) $$\sin(180^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$
Б) $$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$
Г) $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$ - Какое из неравенств верно?
А) $$\sin(100^\circ)\cos(110^\circ)>0$$
В) $$\sin(100^\circ)\cos(110^\circ)<0$$
Б) $$\sin(100^\circ)\cos(10^\circ)<0$$
Г) $$\sin(100^\circ)\cos(90^\circ)>0$$ - Чему равна третья сторона треугольника, если две его стороны равны $$3\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$, а угол между ними равен $$120^\circ$$?
А) $$\sqrt{97}\text{ см}$$
Б) $$7\text{ см}$$
В) $$9\text{ см}$$
Г) $$\sqrt{32}\text{ см}$$ - Каким является угол, лежащий против большей стороны треугольника со сторонами $$4\text{ см}$$, $$7\text{ см}$$ и $$9\text{ см}$$?
А) острым
Б) тупым
В) прямым
Г) невозможно установить - Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на $$10\text{ см}$$ больше другой, равен $$60^\circ$$, а третья сторона равна $$14\text{ см}$$. Какова длина наибольшей стороны треугольника?
А) $$16\text{ см}$$
Б) $$14\text{ см}$$
В) $$18\text{ см}$$
Г) $$15\text{ см}$$ - Диагонали параллелограмма равны $$17\text{ см}$$ и $$19\text{ см}$$, а его стороны относятся как $$2:3$$. Чему равен периметр параллелограмма?
А) $$25\text{ см}$$
Б) $$30\text{ см}$$
В) $$40\text{ см}$$
Г) $$50\text{ см}$$ - В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=8\text{ см}$$, $$\angle C=30^\circ$$, $$\angle A=45^\circ$$. Чему равна сторона $$BC$$?
А) $$8\sqrt{2}\text{ см}$$
Б) $$4\sqrt{2}\text{ см}$$
В) $$16\sqrt{2}\text{ см}$$
Г) $$12\sqrt{2}\text{ см}$$ - Чему равно отношение $$AC:BC$$ сторон треугольника $$ABC$$, если $$\angle A=120^\circ$$, $$\angle B=30^\circ$$?
А) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Б) $$\sqrt{3}$$
В) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Г) $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ - В треугольнике $$ABC$$ $$AB=4\sqrt{2}\text{ см}$$, $$\angle C=135^\circ$$. Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника?
А) $$4\text{ см}$$
Б) $$8\text{ см}$$
В) $$16\text{ см}$$
Г) $$2\text{ см}$$ - Какое наибольшее значение может принимать площадь треугольника со сторонами $$8\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$?
А) $$96\text{ см}^2$$
Б) $$48\text{ см}^2$$
В) $$24\text{ см}^2$$
Г) невозможно установить - Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами $$25\text{ см}$$, $$33\text{ см}$$ и $$52\text{ см}$$?
А) $$36\text{ см}$$
Б) $$30\text{ см}$$
В) $$32{,}5\text{ см}$$
Г) $$38{,}5\text{ см}$$ - Две стороны треугольника равны $$11\text{ см}$$ и $$23\text{ см}$$, а медиана, проведённая к третьей стороне, — $$10\text{ см}$$. Чему равна неизвестная сторона треугольника?
А) $$15\text{ см}$$
Б) $$30\text{ см}$$
В) $$25\text{ см}$$
Г) $$20\text{ см}$$
1) Используем формулу приведения:
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.$$
Верно равенство Г.
2) Проверим знаки:
$$\sin 100^\circ>0,\qquad \cos 110^\circ<0,$$
значит
$$\sin 100^\circ\cos 110^\circ<0.$$
Верно неравенство В.
3) По теореме косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B,$$
$$AC^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos 120^\circ,$$
$$AC^2=9+64-48\cdot\left(-\frac12\right)=73+24=97,$$
$$AC=\sqrt{97}\text{ см}.$$
Ответ: А.
4) Большей стороне треугольника противолежит больший угол. Так как стороны равны $$4\text{ см},\ 7\text{ см},\ 9\text{ см},$$ наибольшая сторона — $$9\text{ см}.$$ Ей противолежит наибольший угол, а в треугольнике с такими сторонами он тупой.
Ответ: Б.
5) Пусть меньшая из двух сторон равна $$x,$$ тогда другая равна $$x+10.$$ По теореме косинусов при $$\angle B=60^\circ$$ и $$AC=14$$:
$$14^2=(x+10)^2+x^2-2x(x+10)\cos 60^\circ,$$
$$196=(x+10)^2+x^2-x(x+10),$$
$$196=x^2+10x+100,$$
$$x^2+10x-96=0.$$
$$D=10^2+4\cdot 96=484,$$
$$x=\frac{-10+22}{2}=6.$$
Тогда вторая сторона равна $$6+10=16\text{ см}.$$
Ответ: А.
6) Пусть стороны параллелограмма равны $$2x$$ и $$3x.$$ Для диагоналей параллелограмма:
$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$$
Тогда
$$17^2+19^2=2\big((2x)^2+(3x)^2\big),$$
$$289+361=2(4x^2+9x^2),$$
$$650=26x^2,$$
$$x^2=25,\quad x=5.$$
Значит, стороны равны $$10\text{ см}$$ и $$15\text{ см},$$ поэтому периметр:
$$P=2(10+15)=50\text{ см}.$$
Ответ: Г.
7) По теореме синусов:
$$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A},$$
$$BC=\frac{AB\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{8\cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=8\sqrt2\text{ см}.$$
Ответ: А.
8) По теореме синусов:
$$\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3}{3}.$$
Ответ: В.
9) Радиус описанной окружности:
$$R=\frac{AB}{2\sin\angle C}=\frac{4\sqrt2}{2\sin 135^\circ}=\frac{4\sqrt2}{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}=4.$$
Диаметр:
$$d=2R=8\text{ см}.$$
Ответ: Б.
10) Площадь треугольника при фиксированных сторонах $$8\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$ максимальна, когда угол между ними равен $$90^\circ$$:
$$S=\frac12\cdot 8\cdot 12\cdot \sin\angle B,$$
$$S_{\max}=\frac12\cdot 8\cdot 12\cdot \sin 90^\circ=48\text{ см}^2.$$
Ответ: Б.
11) Найдём полупериметр:
$$p=\frac{25+33+52}{2}=55.$$
По формуле Герона:
$$S=\sqrt{55\cdot (55-25)\cdot (55-33)\cdot (55-52)}=\sqrt{55\cdot 30\cdot 22\cdot 3}=330.$$
Тогда радиус вписанной окружности:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{330}{55}=6.$$
Радиус описанной окружности:
$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{25\cdot 33\cdot 52}{4\cdot 330}=32{,}5.$$
Их сумма:
$$r+R=6+32{,}5=38{,}5\text{ см}.$$
Ответ: Г.
12) Обозначим точку $$D$$ так, что $$D\in AO$$ и $$AO=DO.$$ Тогда в четырёхугольнике $$ABDC$$ диагонали $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются и делятся пополам, значит $$ABDC$$ — параллелограмм. Следовательно,
$$BD=AC=23,\qquad AD=AO+DO=20.$$
В треугольнике $$ABD$$:
$$\cos\angle A=\frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{121+400-529}{2\cdot 11\cdot 20}=-\frac{1}{55}.$$
В треугольнике $$ABO$$:
$$BO^2=AB^2+AO^2-2\cdot AB\cdot AO\cos\angle A,$$
$$BO^2=121+100-2\cdot 11\cdot 10\cdot\left(-\frac{1}{55}\right)=221+4=225,$$
$$BO=15.$$
Так как $$O$$ — середина диагонали $$BC,$$ то
$$BC=2BO=30\text{ см}.$$
Ответ: Б.
