Проверьте себя №1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Какое из равенств верно?
А) cos(180°- альфа)=sin(альфа) В) sin(180°- альфа)=cos(альфа)
Б) cos(180°- альфа)=cos(альфа) Г) sin(180°- альфа)=sin(альфа)
2. Какое из неравенств верно?
А) sin(100°)cos(110°) > 0 В) sin(100°)cos(110°) < 0 Б) sin(100°)cos(10°) < 0 Г) sin(100°)cos(90°) > 0;
3. Чему равна третья сторона треугольника, если две его стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120°?
А) v97 см Б) 7 см В) 9 см Г) v32 см
4. Каким является угол, лежащий против большей стороны треугольника со сторонами 4 см, 7 см и 9 см?
А) острым Б) тупым В) прямым Г) невозможно установить
5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен 60°, а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника?
А) 16 см Б) 14 см В) 18 см Г) 15 см
6. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а его стороны относятся как 2:3. Чему равен периметр параллелограмма?
А) 25 см Б) 30 см В) 40 см Г) 50 см
7. В треугольнике АВС известно, что АВ=8 см, угол C=30°, угол A = 45°. Чему равна сторона ВС?
А) 8v2 см Б) 4v2 см В) 16v2 см Г) 12v2 см
8. Чему равно отношение АС:ВС сторон треугольника АВС, если угол A=120°, угол B=30°?
А) v3/2 Б) v3 В) v3/3 Г) 2/v3
9. В треугольнике АВС AB=4v2 см, угол C=135°. Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника?
А) 4 см Б) 8 см В) 16 см Г) 2 см
10. Какое наибольшее значение может принимать площадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см?
А) 96 см^2 Б) 48 см^2 В) 24 см^2 Г) невозможно установить
11. Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см?
А) 36 см Б) 30 см В) 32,5 см Г) 38,5 см
12. Две стороны треугольника равны 11 см и 23 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 10 см. Чему равна неизвестная сторона треугольника?
А) 15 см Б) 30 см В) 25 см Г) 20 см

1) Используем формулу приведения:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.$$

Верно равенство Г.

2) Проверим знаки:

$$\sin 100^\circ>0,\qquad \cos 110^\circ<0,$$

значит

$$\sin 100^\circ\cos 110^\circ<0.$$

Верно неравенство В.

3) По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B,$$

$$AC^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos 120^\circ,$$

$$AC^2=9+64-48\cdot\left(-\frac12\right)=73+24=97,$$

$$AC=\sqrt{97}\text{ см}.$$

Ответ: А.

4) Большей стороне треугольника противолежит больший угол. Так как стороны равны $$4\text{ см},\ 7\text{ см},\ 9\text{ см},$$ наибольшая сторона — $$9\text{ см}.$$ Ей противолежит наибольший угол, а в треугольнике с такими сторонами он тупой.

Ответ: Б.

5) Пусть меньшая из двух сторон равна $$x,$$ тогда другая равна $$x+10.$$ По теореме косинусов при $$\angle B=60^\circ$$ и $$AC=14$$:

$$14^2=(x+10)^2+x^2-2x(x+10)\cos 60^\circ,$$

$$196=(x+10)^2+x^2-x(x+10),$$

$$196=x^2+10x+100,$$

$$x^2+10x-96=0.$$

$$D=10^2+4\cdot 96=484,$$

$$x=\frac{-10+22}{2}=6.$$

Тогда вторая сторона равна $$6+10=16\text{ см}.$$

Ответ: А.

6) Пусть стороны параллелограмма равны $$2x$$ и $$3x.$$ Для диагоналей параллелограмма:

$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$$

Тогда

$$17^2+19^2=2\big((2x)^2+(3x)^2\big),$$

$$289+361=2(4x^2+9x^2),$$

$$650=26x^2,$$

$$x^2=25,\quad x=5.$$

Значит, стороны равны $$10\text{ см}$$ и $$15\text{ см},$$ поэтому периметр:

$$P=2(10+15)=50\text{ см}.$$

Ответ: Г.

7) По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A},$$

$$BC=\frac{AB\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{8\cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=8\sqrt2\text{ см}.$$

Ответ: А.

8) По теореме синусов:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ: В.

9) Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{AB}{2\sin\angle C}=\frac{4\sqrt2}{2\sin 135^\circ}=\frac{4\sqrt2}{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}=4.$$

Диаметр:

$$d=2R=8\text{ см}.$$

Ответ: Б.

10) Площадь треугольника при фиксированных сторонах $$8\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$ максимальна, когда угол между ними равен $$90^\circ$$:

$$S=\frac12\cdot 8\cdot 12\cdot \sin\angle B,$$

$$S_{\max}=\frac12\cdot 8\cdot 12\cdot \sin 90^\circ=48\text{ см}^2.$$

Ответ: Б.

11) Найдём полупериметр:

$$p=\frac{25+33+52}{2}=55.$$

По формуле Герона:

$$S=\sqrt{55\cdot (55-25)\cdot (55-33)\cdot (55-52)}=\sqrt{55\cdot 30\cdot 22\cdot 3}=330.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{330}{55}=6.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{25\cdot 33\cdot 52}{4\cdot 330}=32{,}5.$$

Их сумма:

$$r+R=6+32{,}5=38{,}5\text{ см}.$$

Ответ: Г.

12) Обозначим точку $$D$$ так, что $$D\in AO$$ и $$AO=DO.$$ Тогда в четырёхугольнике $$ABDC$$ диагонали $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются и делятся пополам, значит $$ABDC$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$BD=AC=23,\qquad AD=AO+DO=20.$$

В треугольнике $$ABD$$:

$$\cos\angle A=\frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\frac{121+400-529}{2\cdot 11\cdot 20}=-\frac{1}{55}.$$

В треугольнике $$ABO$$:

$$BO^2=AB^2+AO^2-2\cdot AB\cdot AO\cos\angle A,$$

$$BO^2=121+100-2\cdot 11\cdot 10\cdot\left(-\frac{1}{55}\right)=221+4=225,$$

$$BO=15.$$

Так как $$O$$ — середина диагонали $$BC,$$ то

$$BC=2BO=30\text{ см}.$$

Ответ: Б.