Проверьте себя №5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Задание №5. «Проверьте себя»
- Какой из отрезков, изображённых на рисунке 252, может быть образом отрезка $$AB$$ при движении?
А) $$MN$$
Б) $$PQ$$
В) $$EF$$
Г) $$DC$$ - Укажите уравнение образа прямой $$y=2x$$ при параллельном переносе на вектор $$\vec{a}=(0;1)$$.
А) $$y=2x+1$$
Б) $$y=2x-1$$
В) $$y=x+1$$
Г) $$y=x-1$$ - Какая из прямых, изображённых на рисунке 253, может быть образом прямой $$a$$ при параллельном переносе?
А) $$b$$
Б) $$c$$
В) $$d$$
Г) $$a$$ - Какая из указанных фигур имеет только одну ось симметрии?
А) квадрат
Б) окружность
В) парабола
Г) отрезок - При каких значениях $$x$$ и $$y$$ точки $$A(-1;y)$$ и $$B(x;6)$$ симметричны относительно оси абсцисс?
А) $$x=-1,\ y=6$$
Б) $$x=1,\ y=-6$$
В) $$x=-1,\ y=-6$$
Г) $$x=1,\ y=6$$ - Какая из указанных фигур имеет центр симметрии?
А) треугольник
Б) отрезок
В) трапеция
Г) угол - Какая из указанных фигур имеет центр симметрии и ось симметрии?
А) равносторонний треугольник
Б) параллелограмм
В) равнобокая трапеция
Г) прямая - При каких значениях $$x$$ и $$y$$ точки $$A(x;7)$$ и $$B(-4;y)$$ симметричны относительно начала координат?
А) $$x=4,\ y=-7$$
Б) $$x=4,\ y=7$$
В) $$x=-4,\ y=7$$
Г) $$x=-4,\ y=-7$$ - Точка $$O$$ — центр правильного восьмиугольника $$ABCDEFK$$ (рис. 254). Укажите образ стороны $$EF$$ при повороте вокруг точки $$O$$ по часовой стрелке на угол $$135^\circ$$.
А) $$AB$$
Б) $$BC$$
В) $$AM$$
Г) $$CD$$ - Продолжения боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ (рис. 255) пересекаются в точке $$M$$. Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке $$M$$, при которой отрезок $$BC$$ является образом отрезка $$AD$$, если $$AB:BM=7:2$$.
А) $$\frac{2}{7}$$
Б) $$\frac{7}{2}$$
В) $$\frac{2}{9}$$
Г) $$\frac{9}{2}$$ - Точка $$M(6;-3)$$ — образ точки $$N(2;1)$$ при гомотетии с коэффициентом $$-\frac{1}{3}$$. Укажите координаты центра гомотетии.
А) $$(5;-2)$$
Б) $$(8;-1)$$
В) $$(-5;2)$$
Г) $$(-8;1)$$ - Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, пересекает его сторону $$AC$$ в точке $$E$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$F$$. Чему равна площадь треугольника $$CEF$$, если $$AE:EC=3:2$$, а площадь треугольника $$ABC$$ равна $$75\ \text{см}^2$$?
А) $$36\ \text{см}^2$$
Б) $$50\ \text{см}^2$$
В) $$30\ \text{см}^2$$
Г) $$12\ \text{см}^2$$
1. При движении сохраняются длины отрезков. По рисунку 252:
$$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,$$
$$MN=3,\quad EF=2,\quad PQ=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,\quad CD=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}.$$
Таким образом, образом отрезка $$AB$$ может быть отрезок $$PQ$$.
Ответ: Б.
2. При параллельном переносе на вектор $$\vec a(0;1)$$ каждая точка сдвигается на 1 вверх, значит уравнение прямой $$y=2x$$ переходит в
$$y=2x+1.$$
Ответ: А.
3. При параллельном переносе образом прямой является прямая, параллельная ей. На рисунке 253 такой прямой является только сама прямая $$a$$.
Ответ: Г.
4. Только одна ось симметрии есть у параболы.
Ответ: В.
5. Если точки $$A(-1;y)$$ и $$B(x;6)$$ симметричны относительно оси абсцисс, то их абсциссы равны, а ординаты противоположны:
$$x=-1,\qquad 6=-y,$$
откуда
$$x=-1,\qquad y=-6.$$
Ответ: В.
6. Центр симметрии имеет отрезок: его серединой является точка, относительно которой отрезок переходит сам в себя.
Ответ: Б.
7. Центр симметрии и ось симметрии имеет прямая: любая точка этой прямой является центром симметрии, а любая перпендикулярная ей прямая — осью симметрии.
Ответ: Г.
8. Если точки $$A(x;7)$$ и $$B(-4;y)$$ симметричны относительно начала координат, то
$$B(-x;-7),\qquad A(4;-y).$$
Следовательно,
$$x=4,\qquad y=-7.$$
Ответ: А.
9. Правильный восьмиугольник поворачивается вокруг центра на угол
$$\angle AOB=\frac18\cdot 360^\circ=45^\circ.$$
Поворот на $$135^\circ$$ соответствует трём таким углам, поэтому
$$E \to M,\qquad F \to A,\qquad EF \to AM.$$
Ответ: В.
10. Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$BMC$$. Так как $$AD \parallel BC$$, то
$$\angle MAD=\angle MBC,$$
а углы при вершине $$M$$ равны как вертикальные. Значит, $$\triangle AMD \sim \triangle BMC$$.
Из условия $$AB:BM=7:2$$, поэтому
$$AM=AB+BM=\frac72 BM+BM=\frac92 BM.$$
Тогда коэффициент гомотетии
$$k=\frac{BC}{AD}=\frac{MC}{MD}=\frac{BM}{AM}=\frac{2}{9}.$$
Ответ: В.
11. При гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-\frac13$$ точки $$N(2;1)$$ и $$M(6;-3)$$ связаны соотношением $$\overrightarrow{OM}=-\frac13\overrightarrow{ON}$$, то есть
$$ON=3\,OM.$$
Пусть $$O(x;y)$$. Тогда
$$x-2=3(6-x),$$
$$1-y=3(y+3).$$
Решая систему, получаем:
$$x-2=18-3x \Rightarrow 4x=20 \Rightarrow x=5,$$
$$1-y=3y+9 \Rightarrow 4y=-8 \Rightarrow y=-2.$$
Центр гомотетии: $$O(5;-2)$$.
Ответ: А.
12. Так как $$EF \parallel AB$$, то $$\triangle ACB \sim \triangle ECF$$. Тогда
$$AC=AE+EC.$$
По условию $$AE:EC=3:2$$, значит
$$AC=\frac32 CE+CE=\frac52 CE.$$
Следовательно, коэффициент подобия равен
$$\frac{CE}{AC}=\frac{2}{5},$$
а отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{CEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}.$$
Тогда
$$S_{CEF}=\frac{4}{25}\cdot 75=12\text{ см}^2.$$
Ответ: Г.
