Проверьте себя №4 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Какая из данных величин является векторной?
А) масса
Б) объём
В) скорость
Г) время
Чему равен модуль вектора, начало и конец которого совпадают?
А) $$1$$
Б) $$-1$$
В) $$5$$
Г) $$0$$
Дан параллелограмм $$ABCD$$. Какое из равенств является верным?
А) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$
Б) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$
В) $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$$
Г) $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$$
Известно, что $$AM=MB$$. Какое из данных утверждений верно?
А) точка $$B$$ — середина отрезка $$AM$$
Б) точка $$A$$ — середина отрезка $$MB$$
В) точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$
Г) точка $$M$$ — вершина равнобедренного треугольника $$AMB$$
Даны точки $$A(-3; 4)$$, $$B(1; -8)$$. Точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Чему равны координаты вектора $$\overrightarrow{AM}$$?
А) $$(2; -6)$$
Б) $$(-2; 6)$$
В) $$(-2; -6)$$
Г) $$(6; -2)$$
При каком значении $$x$$ векторы $$\vec a=(x; 2)$$ и $$\vec b=(-4; 8)$$ коллинеарны?
А) $$-1$$
Б) $$1$$
В) $$0$$
Г) $$\frac{1}{2}$$
Какое из данных равенств верно?
А) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$$
Б) $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$$
В) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$$
Г) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}$$
Дан вектор $$\vec a=(3; -2)$$. Какой из векторов равен вектору $$\frac{1}{3}\vec a$$?
А) $$\vec m=(1; -\frac{2}{3})$$
Б) $$\vec n=(-3; -\frac{2}{3})$$
В) $$\vec p=(3; -2)$$
Г) $$\vec q=(3; -\frac{2}{3})$$
Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$ треугольника $$ABC$$. Какое из данных равенств верно?
А) $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$
Б) $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
В) $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
Г) $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
Чему равно скалярное произведение векторов $$\vec a=(2; -3)$$ и $$\vec b=(3; -2)$$?
А) $$12$$
Б) $$-12$$
В) $$0$$
Г) $$6$$
При каком значении $$x$$ векторы $$\vec a=(2x; -3)$$ и $$\vec b=(1; 4)$$ перпендикулярны?
А) $$-6$$
Б) $$3$$
В) $$12$$
Г) $$6$$
Чему равен косинус угла между векторами $$\vec a=(5; -12)$$ и $$\vec b=(-3; 4)$$?
А) $$\frac{63}{65}$$
Б) $$\frac{65}{63}$$
В) $$-\frac{63}{65}$$
Г) $$\frac{1}{2}$$

Подробный ответ

1. Векторной величиной является скорость, так как она имеет модуль и направление. Ответ: В.

2. Если начало и конец вектора совпадают, то это нулевой вектор, его модуль равен $$0$$. Ответ: Г.

3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны как векторы: $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$. Ответ: А.

4. Из равенства $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$$ следует, что точка $$M$$ делит отрезок $$AB$$ пополам, то есть $$M$$ — середина $$AB$$. Ответ: В.

5. Найдём координаты середины отрезка $$AB$$:

$$x_M=\frac{-3+1}{2}=-1,\qquad y_M=\frac{4+(-8)}{2}=-2.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,\; y_M-y_A)=(-1-(-3),\; -2-4)=(2;\,-6).$$

Ответ: А.

6. Векторы $$\vec a=(x;\,2)$$ и $$\vec b=(-4;\,8)$$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

$$\frac{x}{-4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},$$

откуда $$x=-1$$. Ответ: А.

7. Верно равенство $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$, а также $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$$. Значит,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$$

Ответ: Б.

8. Если $$\vec a=(\sqrt{3};\,-2)$$, то

$$\sqrt{3}\vec a=(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3};\,-2\sqrt{3})=(3;\,-2\sqrt{3}).$$

Ответ: Г.

9. Если $$M$$ — середина стороны $$BC$$ треугольника $$ABC$$, то вектор к середине стороны выражается так:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$$

Ответ: В.

10. Скалярное произведение:

$$\vec a\cdot\vec b=2\cdot 3+(-3)\cdot(-2)=6+6=12.$$

Ответ: А.

11. Векторы $$\vec a=(2x;\,-3)$$ и $$\vec b=(1;\,4)$$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: