Проверьте себя №3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Какие координаты имеет середина отрезка AB, если А(-6; 7), В (4; -9)?
А) (-5; 8) Б) (-1; -1) В) (-5; -1) Г) (-1; 8)
2. Чему равно расстояние между точками С(8; -11) и D(2; -3)?
А) 100 Б) 10 В) v296 Г) v164
3. Какие координаты имеет центр окружности (x-5)^2+(y+9)^2=16?
А) (5; -9) Б) (-5; 9) В) (5; 9) Г) (-5; -9)
4. Центром какой из данных окружностей является начало координат?
A) x^2+(y-1)^2=1 B) x^2+y^2=1
Б) (x-1)^2+y^2=1 Г) (x-1)^2+(y-1)^2=1
5. Найдите радиус окружности, диаметром которой является отрезок MK, если М(14; 12) и К(-10; 2).
А) 26 Б) 13 В) 25 Г) 5
6. Каковы координаты точки пересечения прямой 5x-3y=15 с осью абсцисс?
А) (0; -5) Б) (-5; 0) В) (0; 3) Г) (3; 0)
7. Четырёхугольник АВCD — параллелограмм, В(-2; 3), С(10; 9), D(7; 0). Чему равны координаты вершины А?
А) (1; 6) Б) (19; -3) В) (-5; -6) Г) (6; 5)
8. Чему равны координаты точки оси ординат, равноудаленной от точек А(-3; 4) и В(1; 8)?
А) (-5; 0) Б) (0; -5) В) (5; 0) Г) (0; 5)
9. Чему равна абсцисса точки прямой АВ, ордината которой равна 2, если А(-7; 4), В(9; 12)?
А) 8,5 Б) -11 В) 4 Г) -2
10. Чему равно расстояние между точкой пересечения прямых x-y=4 и x+3y=12 и точкой M(1; 7)?
А) 5 Б) 50 В) 5v2 Г) 2v5
11. Каково уравнение прямой, проходящей через точку P(-1; 6) параллельно прямой y=2x-5?
А) y=6-5x В) y=5x-6
Б) y=2x+8 Г) y=2x-8
12. Чему равен радиус окружности x^2+y^2+14y-12x+78=0?
А) v7 Б) 7 В) 14 Г) v14

1. Координаты середины отрезка $$AB$$ находим по формулам:
$$ x=\frac{-6+4}{2}=-1,\qquad y=\frac{7+(-9)}{2}=-1. $$
Следовательно, середина отрезка имеет координаты $$(-1;\,-1)$$.

2. Расстояние между точками $$C(8;\,-11)$$ и $$D(2;\,-3)$$:
$$ CD=\sqrt{(8-2)^2+(-11-(-3))^2} =\sqrt{6^2+(-8)^2} =\sqrt{36+64}=10. $$

3. Уравнение окружности имеет вид
$$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. $$
Значит, центр окружности $$ (x-5)^2+(y+9)^2=16 $$ имеет координаты $$ (5;\,-9) $$.

4. Центр окружности $$x^2+y^2=1$$ — начало координат $$O(0;\,0)$$.

5. Найдём длину диаметра $$MK$$:
$$ MK=\sqrt{(14-(-10))^2+(12-2)^2} =\sqrt{24^2+10^2} =\sqrt{576+100}=26. $$
Тогда радиус:
$$ R=\frac{1}{2}MK=\frac{26}{2}=13. $$

6. Точка пересечения с осью абсцисс лежит на оси $$Ox$$, значит $$y=0$$. Подставим в уравнение прямой:
$$ 5x-3\cdot 0=15,\qquad 5x=15,\qquad x=3. $$
Точка пересечения: $$ (3;\,0) $$.

7. В параллелограмме $$ABCD$$ выполняется
$$ \vec{AB}=\vec{DC}. $$
Найдём координаты точки $$A$$:
$$ A=B+D-C. $$
Тогда
$$ x_A=-2+7-10=-5,\qquad y_A=3+0-9=-6. $$
Значит, $$A(-5;\,-6)$$.

8. Точка на оси ординат имеет вид $$O(0;\,y)$$. Она равноудалена от точек $$A(-3;\,4)$$ и $$B(1;\,8)$$, значит:
$$ OA=OB. $$
Тогда
$$ \sqrt{(0+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(0-1)^2+(y-8)^2}. $$
Возведём в квадрат:
$$ 9+(y-4)^2=1+(y-8)^2. $$
$$ 9+y^2-8y+16=1+y^2-16y+64. $$
$$ -8y+25=-16y+65,\qquad 8y=40,\qquad y=5. $$
Искомая точка: $$ (0;\,5) $$.

9. Найдём уравнение прямой $$AB$$. Угловой коэффициент:
$$ k=\frac{12-4}{9-(-7)}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}. $$
Тогда
$$ y=\frac{1}{2}x+b. $$
Подставим точку $$A(-7;\,4)$$:
$$ 4=\frac{1}{2}\cdot(-7)+b,\qquad b=\frac{15}{2}. $$
Итак,
$$ y=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. $$
При $$y=2$$:
$$ 2=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}, $$
$$ 4=x+15,\qquad x=-11. $$

10. Найдём точку пересечения прямых
$$ x-y=4,\qquad x+3y=12. $$
Из первого уравнения:
$$ x=y+4. $$
Подставим во второе:
$$ y+4+3y=12,\qquad 4y=8,\qquad y=2. $$
Тогда
$$ x=2+4=6. $$
Расстояние от точки $$M(1;\,7)$$ до точки пересечения:
$$ OM=\sqrt{(6-1)^2+(2-7)^2} =\sqrt{5^2+(-5)^2} =\sqrt{50}=5\sqrt{2}. $$

11. Прямая, параллельная $$y=2x-5$$, имеет такой же угловой коэффициент $$2$$. Пусть её уравнение:
$$ y=2x+b. $$
Подставим точку $$P(-1;\,6)$$:
$$ 6=2\cdot(-1)+b,\qquad b=8. $$
Следовательно,
$$ y=2x+8. $$

12. Преобразуем уравнение окружности:
$$ x^2+y^2+14y-12x+78=0. $$
Сгруппируем и дополним до квадратов:
$$ x^2-12x+y^2+14y+78=0, $$
$$ (x-6)^2-36+(y+7)^2-49+78=0, $$
$$ (x-6)^2+(y+7)^2=7. $$
Значит,
$$ R=\sqrt{7}. $$

Ответ

1) $$(-1;\,-1)$$; 2) $$10$$; 3) $$ (5;\,-9) $$; 4) $$O(0;\,0)$$; 5) $$13$$; 6) $$ (3;\,0) $$; 7) $$(-5;\,-6)$$; 8) $$ (0;\,5) $$; 9) $$-11$$; 10) $$5\sqrt{2}$$; 11) $$y=2x+8$$; 12) $$\sqrt{7}$$.