Проверьте себя №3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Задание №3 «Проверьте себя» в тестовой форме
- Какие координаты имеет середина отрезка $$AB$$, если $$A(-6; 7)$$, $$B(4; -9)$$?
А) $$(-5; 8)$$
Б) $$(-1; -1)$$
В) $$(-5; -1)$$
Г) $$(-1; 8)$$ - Чему равно расстояние между точками $$C(8; -11)$$ и $$D(2; -3)$$?
А) $$100$$
Б) $$10$$
В) $$\sqrt{296}$$
Г) $$\sqrt{164}$$ - Какие координаты имеет центр окружности $$\left(x-5\right)^2+\left(y+9\right)^2=16$$?
А) $$(5; -9)$$
Б) $$(-5; 9)$$
В) $$(5; 9)$$
Г) $$(-5; -9)$$ - Центром какой из данных окружностей является начало координат?
А) $$x^2+(y-1)^2=1$$
В) $$x^2+y^2=1$$
Б) $$\left(x-1\right)^2+y^2=1$$
Г) $$\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$$ - Найдите радиус окружности, диаметром которой является отрезок $$MK$$, если $$M(14; 12)$$ и $$K(-10; 2)$$.
А) $$26$$
Б) $$13$$
В) $$25$$
Г) $$5$$ - Каковы координаты точки пересечения прямой $$5x-3y=15$$ с осью абсцисс?
А) $$(0; -5)$$
Б) $$(-5; 0)$$
В) $$(0; 3)$$
Г) $$(3; 0)$$ - Четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм, $$B(-2; 3)$$, $$C(10; 9)$$, $$D(7; 0)$$. Чему равны координаты вершины $$A$$?
А) $$(1; 6)$$
Б) $$(19; -3)$$
В) $$(-5; -6)$$
Г) $$(6; 5)$$ - Чему равны координаты точки оси ординат, равноудалённой от точек $$A(-3; 4)$$ и $$B(1; 8)$$?
А) $$(-5; 0)$$
Б) $$(0; -5)$$
В) $$(5; 0)$$
Г) $$(0; 5)$$ - Чему равна абсцисса точки прямой $$AB$$, ордината которой равна $$2$$, если $$A(-7; 4)$$, $$B(9; 12)$$?
А) $$8{,}5$$
Б) $$-11$$
В) $$4$$
Г) $$-2$$ - Чему равно расстояние между точкой пересечения прямых $$x-y=4$$ и $$x+3y=12$$ и точкой $$M(1; 7)$$?
А) $$5$$
Б) $$50$$
В) $$5\sqrt{2}$$
Г) $$2\sqrt{5}$$ - Каково уравнение прямой, проходящей через точку $$P(-1; 6)$$ параллельно прямой $$y=2x-5$$?
А) $$y=6-5x$$
В) $$y=5x-6$$
Б) $$y=2x+8$$
Г) $$y=2x-8$$ - Чему равен радиус окружности $$x^2+y^2+14y-12x+78=0$$?
А) $$\sqrt{7}$$
Б) $$7$$
В) $$14$$
Г) $$\sqrt{14}$$
1. Координаты середины отрезка $$AB$$ находим по формулам:
$$x=\frac{-6+4}{2}=-1,\qquad y=\frac{7+(-9)}{2}=-1.$$
Следовательно, середина отрезка имеет координаты $$(-1;\,-1)$$.
2. Расстояние между точками $$C(8;\,-11)$$ и $$D(2;\,-3)$$:
$$CD=\sqrt{(8-2)^2+(-11-(-3))^2} =\sqrt{6^2+(-8)^2} =\sqrt{36+64}=10.$$
3. Уравнение окружности имеет вид
$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$$
Значит, центр окружности $$(x-5)^2+(y+9)^2=16$$ имеет координаты $$(5;\,-9)$$.
4. Центр окружности $$x^2+y^2=1$$ — начало координат $$O(0;\,0)$$.
5. Найдём длину диаметра $$MK$$:
$$MK=\sqrt{(14-(-10))^2+(12-2)^2} =\sqrt{24^2+10^2} =\sqrt{576+100}=26.$$
Тогда радиус:
$$R=\frac{1}{2}MK=\frac{26}{2}=13.$$
6. Точка пересечения с осью абсцисс лежит на оси $$Ox$$, значит $$y=0$$. Подставим в уравнение прямой:
$$5x-3\cdot 0=15,\qquad 5x=15,\qquad x=3.$$
Точка пересечения: $$(3;\,0)$$.
7. В параллелограмме $$ABCD$$ выполняется
$$\vec{AB}=\vec{DC}.$$
Найдём координаты точки $$A$$:
$$A=B+D-C.$$
Тогда
$$x_A=-2+7-10=-5,\qquad y_A=3+0-9=-6.$$
Значит, $$A(-5;\,-6)$$.
8. Точка на оси ординат имеет вид $$O(0;\,y)$$. Она равноудалена от точек $$A(-3;\,4)$$ и $$B(1;\,8)$$, значит:
$$OA=OB.$$
Тогда
$$\sqrt{(0+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(0-1)^2+(y-8)^2}.$$
Возведём в квадрат:
$$9+(y-4)^2=1+(y-8)^2.$$
$$9+y^2-8y+16=1+y^2-16y+64.$$
$$-8y+25=-16y+65,\qquad 8y=40,\qquad y=5.$$
Искомая точка: $$(0;\,5)$$.
9. Найдём уравнение прямой $$AB$$. Угловой коэффициент:
$$k=\frac{12-4}{9-(-7)}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$y=\frac{1}{2}x+b.$$
Подставим точку $$A(-7;\,4)$$:
$$4=\frac{1}{2}\cdot(-7)+b,\qquad b=\frac{15}{2}.$$
Итак,
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}.$$
При $$y=2$$:
$$2=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2},$$
$$4=x+15,\qquad x=-11.$$
10. Найдём точку пересечения прямых
$$x-y=4,\qquad x+3y=12.$$
Из первого уравнения:
$$x=y+4.$$
Подставим во второе:
$$y+4+3y=12,\qquad 4y=8,\qquad y=2.$$
Тогда
$$x=2+4=6.$$
Расстояние от точки $$M(1;\,7)$$ до точки пересечения:
$$OM=\sqrt{(6-1)^2+(2-7)^2} =\sqrt{5^2+(-5)^2} =\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$
11. Прямая, параллельная $$y=2x-5$$, имеет такой же угловой коэффициент $$2$$. Пусть её уравнение:
$$y=2x+b.$$
Подставим точку $$P(-1;\,6)$$:
$$6=2\cdot(-1)+b,\qquad b=8.$$
Следовательно,
$$y=2x+8.$$
12. Преобразуем уравнение окружности:
$$x^2+y^2+14y-12x+78=0.$$
Сгруппируем и дополним до квадратов:
$$x^2-12x+y^2+14y+78=0,$$
$$(x-6)^2-36+(y+7)^2-49+78=0,$$
$$(x-6)^2+(y+7)^2=7.$$
Значит,
$$R=\sqrt{7}.$$
Ответ
1) $$(-1;\,-1)$$; 2) $$10$$; 3) $$(5;\,-9)$$; 4) $$O(0;\,0)$$; 5) $$13$$; 6) $$(3;\,0)$$; 7) $$(-5;\,-6)$$; 8) $$(0;\,5)$$; 9) $$-11$$; 10) $$5\sqrt{2}$$; 11) $$y=2x+8$$; 12) $$\sqrt{7}$$.
