Проверьте себя №2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Чему равно количество сторон правильного многоугольника, если его угол равен 170°?
А) 30 Б) 32 В) 36 Г) такого многоугольника не существует
2. Чему равен центральный угол правильного десятиугольника?
А) 18° Б) 36° В) 144° Г) 10°
3. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник?
А) 90° Б) 120° В) 150° Г) указать невозможно
4. В окружность вписан правильный шестиугольник, сторона которого равна a. Чему равна сторона треугольника, описанного около этой окружности?
А) av3/3 Б) av3/2 В) av3 Г) 2av3
5. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 12 см?
А) 6 см Б) 6v3 см В) 2v3 см Г) 12 см
6. Чему равна длина дуги окружности, градусная мера которой равна 207°, если радиус окружности 4 см?
А) 4,6п см Б) 4,6 см В) 23п см Г) 23 см
7. Какую часть площади крута составляет площадь сектора, центральный угол которого равен 140°?
А) 7/9 Б) 7/12 В) 7/15 Г) 7/18
8. Вписанный в окружность угол, равный 40°, опирается на дугу длиной 8 см. Какова длина данной окружности?
А) 36 см Б) 72п см В) 72 см Г) 36п см
9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой равен R, чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делят окружность, относились как 2:1?
A) R Б) 2R В) Rv3/2 Г) Rv3
10. На рисунке 67 изображён вписанный в окружность треугольник ABC, угол A=30°, BC=a. Чему равна площадь сегмента, основание которого стягивает дугу BAC?
А) a^2(2п+3v3)/12 В) a^2(10п+3v3)/12
Б) a^2(2п-3v3)/12 Г) a^2(10п-3v3)/12
11. В треугольнике АВС известно, что угол A=20°, угол C=30°, AC=14 см. Окружность с центром в точке A касается прямой ВС. Чему равна длина дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику АВС?
А) 7п/18 см Б) 7п/9 см В) 7п/12 см Г) 7п/6 см
12. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6v3 см, а радиус вписанной в него окружности — 9 см. Сколько сторон имеет многоугольник?
А) 6 Б) 12 В) 9 Г) 18

1) Для правильного многоугольника внешний угол равен $$180^\circ-\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=\frac{360^\circ}{n}.$$

Если внутренний угол равен $$170^\circ,$$ то внешний угол равен $$10^\circ.$$ Тогда

$$\frac{360^\circ}{n}=10^\circ,\qquad n=36.$$

Ответ: В.

2) Центральный угол правильного десятиугольника:

$$\beta=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Ответ: Б.

3) В правильном многоугольнике центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{n}.$$ Наибольшее значение он принимает при наименьшем возможном $$n=3.$$ Тогда

$$\beta=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Ответ: Б.

4) Пусть сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна $$a.$$ Тогда радиус окружности равен стороне шестиугольника:

$$R=a.$$

Сторона правильного треугольника, описанного около этой окружности, равна

$$a_3=2R\tan 60^\circ=2a\sqrt{3}.$$

Ответ: Г.

5) В правильном шестиугольнике меньшая диагональ равна $$2a,$$ где $$a$$ — сторона. По условию

$$2a=12,\qquad a=6.$$

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника:

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Ответ: Б.

6) Длина дуги:

$$L=\frac{2\pi R\cdot \alpha}{360^\circ}.$$

При $$R=4\text{ см}$$ и $$\alpha=207^\circ$$ получаем

$$L=\frac{2\pi\cdot 4\cdot 207^\circ}{360^\circ}=4{,}6\pi\text{ см}.$$

Ответ: А.

7) Площадь сектора составляет такую же часть площади круга, как его центральный угол от полного угла:

$$\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{140^\circ}{360^\circ}=\frac{7}{18}.$$

Ответ: Г.

8) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга имеет градусную меру

$$2\cdot 40^\circ=80^\circ.$$

Если длина этой дуги равна $$8\text{ см},$$ то длина всей окружности:

$$C=8\cdot \frac{360^\circ}{80^\circ}=36\text{ см}.$$

Ответ: А.

9) Пусть меньшая дуга равна $$x,$$ тогда большая равна $$2x.$$ Имеем

$$x+2x=360^\circ,\qquad x=120^\circ.$$

Значит, хорда стягивает центральный угол $$120^\circ,$$ и

$$AB=2R\sin\frac{120^\circ}{2}=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}.$$

Ответ: Г.

10) Так как $$\angle A=30^\circ,$$ то центральный угол, опирающийся на дугу $$BC,$$ равен

$$\angle BOC=2\angle BAC=60^\circ.$$

Из треугольника $$BOC$$:

$$BC^2=BO^2+OC^2-2\cdot BO\cdot OC\cos 60^\circ,$$

$$a^2=R^2+R^2-2R^2\cdot \frac12=R^2,$$

следовательно, $$R=a.$$

Площадь сектора $$BOC$$:

$$S_{BOC}=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi a^2}{6}.$$

Площадь треугольника $$BOC$$:

$$S_{BOC}=\frac12\cdot a\cdot a\cdot \sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда площадь сегмента, основание которого стягивает дугу $$BAC,$$ равна

$$S=\pi a^2-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi a^2}{6}=\frac{a^2(10\pi-3\sqrt{3})}{12}.$$

Ответ: Г.

11) Окружность с центром в точке $$A$$ касается прямой $$BC,$$ значит, радиус этой окружности равен расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$BC.$$ Опустим перпендикуляр $$AH\perp BC.$$ В треугольнике $$AHC$$:

$$AH=AC\sin \angle C=14\cdot \sin 30^\circ=7.$$

Длина дуги окружности, принадлежащей треугольнику $$ABC,$$ равна

$$L=\frac{2\pi R\cdot \angle A}{360^\circ}=\frac{2\pi\cdot 7\cdot 20^\circ}{360^\circ}=\frac{7\pi}{9}\text{ см}.$$

Ответ: Б.

12) Для правильного многоугольника

$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}=2r\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

Подставим $$R=6\sqrt{3},\ r=9$$:

$$12\sqrt{3}\sin\frac{180^\circ}{n}=18\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

Разделим на $$6\sin\frac{180^\circ}{n}:$$

$$2\sqrt{3}=3\cdot \frac{1}{\cos\frac{180^\circ}{n}},$$

откуда

$$\cos\frac{180^\circ}{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{180^\circ}{n}=30^\circ,\qquad n=6.$$

Ответ: А.