Проверьте себя №2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) Для правильного многоугольника внешний угол равен $$180^\circ-\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=\frac{360^\circ}{n}.$$

Если внутренний угол равен $$170^\circ,$$ то внешний угол равен $$10^\circ.$$ Тогда

$$\frac{360^\circ}{n}=10^\circ,\qquad n=36.$$

Ответ: В.

2) Центральный угол правильного десятиугольника:

$$\beta=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Ответ: Б.

3) В правильном многоугольнике центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{n}.$$ Наибольшее значение он принимает при наименьшем возможном $$n=3.$$ Тогда

$$\beta=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Ответ: Б.

4) Пусть сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна $$a.$$ Тогда радиус окружности равен стороне шестиугольника:

$$R=a.$$

Сторона правильного треугольника, описанного около этой окружности, равна

$$a_3=2R\tan 60^\circ=2a\sqrt{3}.$$

Ответ: Г.

5) В правильном шестиугольнике меньшая диагональ равна $$2a,$$ где $$a$$ — сторона. По условию

$$2a=12,\qquad a=6.$$

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника:

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Ответ: Б.

6) Длина дуги:

$$L=\frac{2\pi R\cdot \alpha}{360^\circ}.$$

При $$R=4\text{ см}$$ и $$\alpha=207^\circ$$ получаем

$$L=\frac{2\pi\cdot 4\cdot 207^\circ}{360^\circ}=4{,}6\pi\text{ см}.$$

Ответ: А.

7) Площадь сектора составляет такую же часть площади круга, как его центральный угол от полного угла:

$$\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{140^\circ}{360^\circ}=\frac{7}{18}.$$

Ответ: Г.

8) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга имеет градусную меру

$$2\cdot 40^\circ=80^\circ.$$

Если длина этой дуги равна $$8\text{ см},$$ то длина всей окружности:

$$C=8\cdot \frac{360^\circ}{80^\circ}=36\text{ см}.$$

Ответ: А.

9) Пусть меньшая дуга равна $$x,$$ тогда большая равна $$2x.$$ Имеем

$$x+2x=360^\circ,\qquad x=120^\circ.$$

Значит, хорда стягивает центральный угол $$120^\circ,$$ и

$$AB=2R\sin\frac{120^\circ}{2}=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}.$$

Ответ: Г.

10) Так как $$\angle A=30^\circ,$$ то центральный угол, опирающийся на дугу $$BC,$$ равен

$$\angle BOC=2\angle BAC=60^\circ.$$

Из треугольника $$BOC$$:

$$BC^2=BO^2+OC^2-2\cdot BO\cdot OC\cos 60^\circ,$$

$$a^2=R^2+R^2-2R^2\cdot \frac12=R^2,$$

следовательно, $$R=a.$$

Площадь сектора $$BOC$$:

$$S_{BOC}=\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi a^2}{6}.$$

Площадь треугольника $$BOC$$:

$$S_{BOC}=\frac12\cdot a\cdot a\cdot \sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда площадь сегмента, основание которого стягивает дугу $$BAC,$$ равна

$$S=\pi a^2-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi a^2}{6}=\frac{a^2(10\pi-3\sqrt{3})}{12}.$$

Ответ: Г.

11) Окружность с центром в точке $$A$$ касается прямой $$BC,$$ значит, радиус этой окружности равен расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$BC.$$ Опустим перпендикуляр $$AH\perp BC.$$ В треугольнике $$AHC$$:

$$AH=AC\sin \angle C=14\cdot \sin 30^\circ=7.$$

Длина дуги окружности, принадлежащей треугольнику $$ABC,$$ равна

$$L=\frac{2\pi R\cdot \angle A}{360^\circ}=\frac{2\pi\cdot 7\cdot 20^\circ}{360^\circ}=\frac{7\pi}{9}\text{ см}.$$

Ответ: Б.

12) Для правильного многоугольника

$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}=2r\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

Подставим $$R=6\sqrt{3},\ r=9$$:

$$12\sqrt{3}\sin\frac{180^\circ}{n}=18\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

Разделим на $$6\sin\frac{180^\circ}{n}:$$

$$2\sqrt{3}=3\cdot \frac{1}{\cos\frac{180^\circ}{n}},$$

откуда

$$\cos\frac{180^\circ}{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{180^\circ}{n}=30^\circ,\qquad n=6.$$

Ответ: А.