Упр.99 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 99. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

Подробный ответ

Обозначим угол при основании треугольника через $$\angle A$$. Тогда по теореме косинусов для стороны $$BC$$:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos \angle A $$

Подставим данные:

$$ 100=100+256-2\cdot 10\cdot 16\cos \angle A $$

$$ 320\cos \angle A=256,\qquad \cos \angle A=\frac45 $$

Найдём синус этого угла:

$$ \sin \angle A=\sqrt{1-\cos^2 \angle A} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35 $$

Радиус описанной окружности найдём по формуле

$$ R=\frac{a}{2\sin A} $$

где $$a=BC=10$$. Тогда

$$ R=\frac{10}{2\cdot \frac35} =\frac{10}{\frac65} =10\cdot \frac56 =\frac{25}{3} $$