Упр.97 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 97. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, поэтому

$$\angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle B.$$

Применим теорему синусов к треугольнику $$ABD$$:

$$\frac{AD}{\sin \angle ABD}=\frac{BD}{\sin \angle A}.$$

Тогда

$$BD=\frac{AD\cdot \sin \angle A}{\sin \left(\frac{1}{2}\angle B\right)}.$$

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $$CBD$$:

$$\frac{CD}{\sin \angle CBD}=\frac{BD}{\sin \angle C}.$$

Следовательно,

$$BD=\frac{CD\cdot \sin \angle C}{\sin \left(\frac{1}{2}\angle B\right)}.$$

Так как обе полученные формулы выражают одну и ту же длину $$BD$$, приравниваем их:

$$\frac{AD\cdot \sin \angle A}{\sin \left(\frac{1}{2}\angle B\right)}=\frac{CD\cdot \sin \angle C}{\sin \left(\frac{1}{2}\angle B\right)}.$$

Сокращая на $$\sin \left(\frac{1}{2}\angle B\right)$$, получаем

$$AD\cdot \sin \angle A=CD\cdot \sin \angle C.$$

Отсюда

$$\frac{AD}{CD}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle A}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{AD}{CD}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle A}.$$