Упр.96 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что угол $$A=\alpha$$, угол $$B=\beta$$. На стороне $$BC$$ отметили точку $$D$$ так, что угол $$ADB=\varphi$$, $$AD=m$$. Найдите сторону $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как точки $$B, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ADC = 180^\circ — \angle ADB = 180^\circ — \varphi.$$

Следовательно,

$$\sin \angle ADC = \sin(180^\circ-\varphi)=\sin\varphi.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нём

$$\angle C = 180^\circ-\angle A-\angle B = 180^\circ-\alpha-\beta,$$

поэтому

$$\sin \angle C = \sin(180^\circ-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta).$$

В треугольнике $$ACD$$ по теореме синусов имеем:

$$\frac{AC}{\sin \angle ADC}=\frac{AD}{\sin \angle ACD}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{AD\cdot \sin \angle ADC}{\sin \angle ACD}=\frac{m\sin\varphi}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $$ABC$$:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Тогда

$$BC=\frac{AC\cdot \sin \angle A}{\sin \angle B}=\frac{m\sin\varphi}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{m\sin\alpha\sin\varphi}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}.$$

Ответ

$$\frac{m\sin\alpha\sin\varphi}{\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}$$