Упр.95 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 95. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что угол AMC=фи. Найдите отрезок СМ, если АВ=с, угол A=альфа, угол ACB=гамма.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме синусов имеем

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Тогда

$$BC=\frac{AB\cdot \sin \angle A}{\sin \angle ACB}=\frac{c\sin \alpha}{\sin \gamma}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMC$$. Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BMC=180^\circ-\angle AMC=180^\circ-\varphi,$$

следовательно,

$$\sin \angle BMC=\sin(180^\circ-\varphi)=\sin \varphi.$$

Кроме того,

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-\alpha-\gamma,$$

поэтому

$$\sin \angle B=\sin(180^\circ-\alpha-\gamma)=\sin(\alpha+\gamma).$$

По теореме синусов в треугольнике $$BMC$$:

$$\frac{BC}{\sin \angle BMC}=\frac{CM}{\sin \angle B}.$$

Отсюда

$$CM=\frac{BC\cdot \sin \angle B}{\sin \angle BMC}.$$

Подставим найденное значение $$BC$$:

$$CM=\frac{c\sin \alpha}{\sin \gamma}\cdot \frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\sin \varphi}.$$

Итак,

$$CM=\frac{c\sin \alpha \sin(\alpha+\gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}.$$

Ответ

$$\frac{c\sin \alpha \sin(\alpha+\gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}$$