Упр.94 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 94. Используя данные рисунка 21, найдите отрезок АС, если BD=m, угол ABC=альфа, угол ADC=бетта.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как точки $$C, B, D$$ лежат на одной прямой, то внешний угол при вершине $$B$$ равен

$$\angle ABD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-\alpha.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По рисунку $$\angle ADB=\beta$$, значит

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABD-\angle ADB.$$

Подставим найденные значения:

$$\angle BAD=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-\beta=\alpha-\beta.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABD$$:

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}.$$

Тогда

$$AB=\frac{BD\cdot \sin \angle ADB}{\sin \angle BAD}=\frac{m\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, поэтому

$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}.$$

Так как $$\angle B=\alpha$$, получаем

$$AC=AB\sin \alpha=\frac{m\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}\cdot \sin \alpha.$$

Следовательно,

$$AC=\frac{m\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

Ответ

$$\frac{m\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}$$