Упр.934 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 934. Дан квадрат размером 101X101 клетку. Клетки квадрата раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что центральная клетка оказалась чёрной. Для каждой пары разноцветных клеток откладывают вектор, начало которого совпадает с центром чёрной клетки, а конец — с центром белой. Докажите, что сумма всех отложенных векторов равна нуль-вектору.

Рассмотрим любой вектор, построенный по условию: его начало находится в центре чёрной клетки, а конец — в центре белой клетки.

Так как квадрат $$101\times 101$$ клетку раскрашен в шахматном порядке и центральная клетка чёрная, то относительно центра квадрата каждой клетке соответствует симметричная ей клетка другого цвета. Значит, каждому такому вектору можно сопоставить вектор, симметричный ему относительно центра квадрата.

У симметричных векторов длины равны, а направления противоположны, поэтому их сумма равна нулевому вектору:

$$\vec a+\left(-\vec a\right)=\vec 0.$$

Все построенные векторы разбиваются на такие пары симметричных векторов. Следовательно, сумма всех этих векторов равна сумме нулевых векторов, то есть нулевому вектору.

Итак,

$$\sum \vec a_i=\vec 0.$$

Ответ

Сумма всех отложенных векторов равна нулевому вектору.