Упр.930 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 930. На плоскости отметили несколько точек. Некоторые из них отметили красным цветом, другие — синим. Известно, что точек каждого цвета не меньше трёх и никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой. Докажите, что какие-то три точки одного цвета являются вершинами треугольника, на сторонах которого может лежать не более двух точек другого цвета.

Рассмотрим все треугольники, вершины которых окрашены в один цвет. Среди них выберем треугольник наименьшей площади.

Докажем, что на каждой его стороне лежит не более двух точек другого цвета.

Предположим противное: на одной из сторон выбранного треугольника лежат три точки другого цвета. Тогда эти три точки образуют треугольник, который вместе с двумя вершинами данной стороны и третьей вершиной исходного треугольника даёт треугольник того же цвета, но меньшей площади.

Действительно, если на стороне треугольника лежат три точки, то крайние из них вместе с вершиной, не лежащей на этой стороне, образуют треугольник, вписанный в исходный. Его площадь меньше площади исходного треугольника, что противоречит выбору треугольника наименьшей площади.

Следовательно, на сторонах выбранного треугольника может лежать не более двух точек другого цвета.

Ответ

Существует треугольник, вершины которого окрашены в один цвет, и на сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.