Упр.93 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 93. Используя данные рисунка 20, найдите отрезок AD, если CD=a, угол BAC=гамма, угол DBA=бетта.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Тогда

$$\angle D=180^\circ-\angle A-\angle B.$$

Так как $$\angle A=\gamma$$, $$\angle B=\beta$$, то

$$\angle D=180^\circ-\gamma-\beta,$$

следовательно,

$$\angle CDB=180^\circ-\angle D=\gamma+\beta.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCD$$. Здесь $$\angle C=90^\circ$$, поэтому

$$\cos \angle CDB=\frac{CD}{BD}.$$

Отсюда

$$BD=\frac{CD}{\cos \angle CDB}=\frac{a}{\cos(\beta+\gamma)}.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$ и применим теорему синусов:

$$\frac{AD}{\sin \angle B}=\frac{BD}{\sin \angle A}.$$

Тогда

$$AD=\frac{BD\cdot \sin \angle B}{\sin \angle A}.$$

Подставим найденное значение $$BD$$:

$$AD=\frac{a}{\cos(\beta+\gamma)}\cdot \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}.$$

Следовательно,

$$AD=\frac{a\sin \beta}{\cos(\beta+\gamma)\sin \gamma}.$$

Ответ

$$\frac{a\sin \beta}{\cos(\beta+\gamma)\sin \gamma}$$