Упр.928 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 928. В круг радиуса 1 см вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17 см.

Обозначим через $$P$$ сумму длин сторон пятиугольника, а через $$D$$ — сумму длин его диагоналей.

1) Каждая сторона вписанного пятиугольника меньше дуги окружности, которую она стягивает. Поэтому сумма всех сторон меньше длины всей окружности радиуса $$1$$ см:

$$P<2\pi<7.$$

2) Каждая диагональ пятиугольника не больше диаметра окружности. Так как радиус окружности равен $$1$$ см, то диаметр равен $$2$$ см. Диагоналей у пятиугольника $$\frac{5(5-3)}{2}=5$$, значит

$$D<5\cdot 2=10.$$

3) Тогда сумма всех сторон и диагоналей пятиугольника удовлетворяет неравенству

$$P+D<7+10=17.$$

Следовательно, сумма длин его сторон и диагоналей меньше $$17$$ см.

Ответ

$$17\text{ см}$$