Упр.927 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 927. Покажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из полученных частей можно сложить прямоугольник.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AE=BE$$ и $$BM=MC$$.

Через точки $$E$$ и $$M$$ проведём перпендикуляры к основанию $$AC$$: $$EF\perp AC$$ и $$MN\perp AC$$, где $$F,N\in AC$$.

Тогда четырёхугольник $$EFMN$$ — прямоугольник, так как $$EF\parallel MN$$ и $$FN\parallel AC$$, а также $$EF\perp FN$$.

Кроме того, поскольку $$E$$ и $$M$$ — середины сторон треугольника, отрезок $$EM$$ является средней линией треугольника $$ABC$$, значит

$$EM=\frac12 AC.$$

Но в прямоугольнике $$EFMN$$ противоположные стороны равны, поэтому

$$FN=EM=\frac12 AC.$$

Следовательно, отрезки $$AF$$ и $$CN$$ вместе с $$FN$$ составляют весь отрезок $$AC$$, то есть

$$AF+FN+CN=AC.$$

Так как $$FN=\frac12 AC$$, получаем

$$AF+CN=AC-FN=\frac12 AC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AEF$$ и $$BMN$$. Они прямоугольные, причём

$$AE=BE,\quad BM=MC,$$

а также $$EF=MN$$, потому что обе эти стороны равны расстоянию между параллельными прямыми, проведёнными через середины сторон треугольника. Значит, треугольники $$AEF$$ и $$BMN$$ равны, и их можно совместить при разрезании.

Итак, треугольник $$ABC$$ разрезается на три части: два прямоугольных треугольника и прямоугольник $$EFMN$$. Из этих трёх частей можно сложить прямоугольник.

Ответ

Треугольник можно разрезать на три части: два прямоугольных треугольника, полученные опусканием перпендикуляров из середин двух сторон на основание, и прямоугольник между ними; из этих частей складывается прямоугольник.