Упр.92 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 92. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен б см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АОС, где О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, если угол ABC=60°.

Обозначим радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$ через $$R$$. Тогда

$$R=\frac{AC}{2\sin \angle B}.$$

Так как $$R=6$$ см и $$\angle B=60^\circ$$, получаем

$$AC=2R\sin \angle B=2\cdot 6\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$

Точка $$O$$ — пересечение биссектрис, значит $$AO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$. Поэтому

$$\angle OAC=\frac{\angle A}{2}, \qquad \angle OCA=\frac{\angle C}{2}.$$

Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle OAC+\angle OCA=\frac{\angle A+\angle C}{2}=60^\circ,$$

а значит в треугольнике $$AOC$$

$$\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Теперь для треугольника $$AOC$$ используем формулу радиуса описанной окружности:

$$R_{AOC}=\frac{AC}{2\sin \angle AOC}=\frac{6\sqrt{3}}{2\sin 120^\circ}.$$

Так как $$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$R_{AOC}=\frac{6\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=6.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$