Упр.918 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны $$3\text{ см}$$ и $$4\sqrt{2}\text{ см}$$, а острый угол — $$45^\circ$$. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём призмы, если её боковое ребро равно $$6\text{ см}$$.

Подробный ответ

В основании прямой призмы лежит параллелограмм со сторонами $$AB=4\sqrt{2}$$ см и $$AD=3$$ см, а также $$\angle BAD=45^\circ$$. Боковое ребро призмы равно $$AE=6$$ см.

Найдём площадь основания параллелограмма:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD$$
$$S_{ABCD}=4\sqrt{2}\cdot 3\cdot \sin 45^\circ =4\sqrt{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12$$

Периметр основания:

$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(4\sqrt{2}+3)=6+8\sqrt{2}$$

Так как призма прямая, площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро:

$$S_{\text{бок}}=P_{ABCD}\cdot AE=(6+8\sqrt{2})\cdot 6=36+48\sqrt{2}=12(3+4\sqrt{2})$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{\text{пов}}=S_{\text{бок}}+2S_{ABCD}$$
$$S_{\text{пов}}=12(3+4\sqrt{2})+2\cdot 12=12(5+4\sqrt{2})$$

Объём призмы:

$$V=S_{ABCD}\cdot AE=12\cdot 6=72$$