Упр.917 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. На продолжениях медиан $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ отметили соответственно точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ так, что $$A_1A_2=\frac{1}{2}AA_1$$, $$B_1B_2=\frac{1}{2}BB_1$$, $$C_1C_2=\frac{1}{2}CC_1$$. Найдите площадь треугольника $$A_2B_2C_2$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$1$$.

Пусть $$E$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Тогда медиана делится центроидом в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$AE=\frac{2}{3}AA_1,\qquad EA_1=\frac{1}{3}AA_1.$$

По условию

$$A_1A_2=\frac{1}{2}AA_1,$$

значит

$$EA_2=EA_1+A_1A_2=\frac{1}{3}AA_1+\frac{1}{2}AA_1=\frac{5}{6}AA_1.$$

Тогда

$$\frac{EA_2}{EA}=\frac{\frac{5}{6}AA_1}{\frac{2}{3}AA_1}=\frac{5}{4}.$$

Аналогично получаем

$$\frac{EB_2}{EB}=\frac{EC_2}{EC}=\frac{5}{4}.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны с коэффициентом подобия

$$k=\frac{5}{4}.$$

Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$S_{A_2B_2C_2}=k^2\cdot S_{ABC}=\left(\frac{5}{4}\right)^2\cdot 1=\frac{25}{16}.$$

Ответ

$$\frac{25}{16}$$