Упр.916 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=BC=13\text{ см}$$, $$AC=10\text{ см}$$. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $$AC$$, которая пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно. Вычислите площадь треугольника $$MBK$$.

Подробный ответ

Пусть $$BH \perp AC$$, $$H \in AC$$, а $$E = BH \cap MK$$. Тогда $$MK \parallel AC$$, значит треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBK$$ подобны по двум углам.

Найдём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$AB = BC = 13$$, то треугольник равнобедренный, и $$AH = HC = \frac{AC}{2} = 5$$.

Тогда

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot 10 \cdot 12=60.$$

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}=\frac{2\cdot 60}{13+13+10}=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}.$$

Так как окружность касается прямой $$MK$$, параллельной основанию $$AC$$, то расстояние от вершины $$B$$ до прямой $$MK$$ равно

$$BE=BH-2r=12-\frac{20}{3}=\frac{16}{3}.$$

Из подобия треугольников $$\triangle ABC \sim \triangle MBK$$ получаем

$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\left(\frac{BE}{BH}\right)^2 =\left(\frac{16/3}{12}\right)^2 =\left(\frac{4}{9}\right)^2 =\frac{16}{81}.$$

Тогда