Упр.915 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Продолжения боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите площадь трапеции, если $$AB:BM=5:3$$, $$AD>BC$$, а площадь треугольника $$AMD$$ равна $$32\ \text{см}^2$$.

Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$BMC$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то $$\angle MBC = \angle MAD$$ и $$\angle MCB = \angle MDA$$. Следовательно, $$\triangle AMD \sim \triangle BMC$$ по двум углам.

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{BM}{AM}=\frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BMC}}{S_{AMD}}=\left(\frac{BM}{AM}\right)^2=\left(\frac{3}{8}\right)^2=\frac{9}{64}.$$

Значит,

$$S_{BMC}=\frac{9}{64}\cdot 32=\frac{9}{2}\text{ см}^2.$$

Площадь трапеции равна разности площадей треугольников $$AMD$$ и $$BMC$$:

$$S_{ABCD}=S_{AMD}-S_{BMC}=32-\frac{9}{2}=\frac{55}{2}=27{,}5\text{ см}^2.$$

Ответ

$$27{,}5\text{ см}^2$$