Упр.914 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. На стороне квадрата $$ABCD$$ отметили точку $$M$$ так, что $$BM:MC=1:2$$. Отрезки $$AM$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь треугольника $$BPM$$, если площадь треугольника $$APD$$ равна $$27\ \text{см}^2$$.

Рассмотрим треугольники $$APD$$ и $$BPM$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$BC \parallel AD$$. Поэтому $$\angle BMA = \angle DAM$$.

Кроме того, $$\angle BPM = \angle DPA$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle APD \sim \triangle BPM$$ по двум углам.

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{S_{BPM}}{S_{APD}}=\left(\frac{BM}{AD}\right)^2.$$

Так как $$BM:MC=1:2$$, то $$BC=BM+MC$$, значит $$BM=\frac{1}{3}BC$$. В квадрате $$BC=AD$$, следовательно,

$$\frac{BM}{AD}=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\frac{S_{BPM}}{S_{APD}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S_{BPM}=\frac{1}{9}\cdot S_{APD}=\frac{1}{9}\cdot 27=3.$$

Ответ

$$3\ \text{см}^2$$