Упр.913 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 913. Прямая, параллельная стороне треугольника длиной 6 см, делит его на две фигуры, площади которых относятся как 1:3. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.
Так как прямая $$EF$$ параллельна стороне $$AC$$, то треугольники $$\triangle BEF$$ и $$\triangle BAC$$ подобны.
Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{EF}{AC}\right)^2.$$
Пусть $$AC=6$$ см. Обозначим $$S_{BEF}=x$$. Тогда площадь всего треугольника
$$S_{ABC}=S_{BEF}+S_{AEFC}.$$
1) Если $$S_{BEF}:S_{AEFC}=1:3$$, то
$$S_{AEFC}=3x,\qquad S_{ABC}=x+3x=4x.$$
Тогда
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=\frac{x}{4x}=\frac14,$$
и значит
$$\frac{EF}{AC}=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$
Следовательно,
$$EF=6\cdot \frac12=3\text{ см}.$$
2) Если $$S_{AEFC}:S_{BEF}=1:3$$, то
$$S_{AEFC}=x,\qquad S_{BEF}=3x,$$
а значит
$$S_{ABC}=x+3x=4x,$$
и
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=\frac{3x}{4x}=\frac34.$$
Тогда
$$\frac{EF}{AC}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2},$$
откуда
$$EF=6\cdot \frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ см}.$$
Ответ
$$3\text{ см};\ 3\sqrt3\text{ см}.$$
