Упр.91 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На продолжении стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ за точку $$B$$ отметили точку $$D$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$ACD$$, если $$\angle ABC=60^\circ$$, $$\angle ADC=45^\circ$$, а радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, равен $$4\text{ см}$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Для него по формуле радиуса описанной окружности имеем:

$$AC=2R\sin\angle ABC.$$

Тогда

$$AC=2\cdot 4\cdot \sin 60^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Его радиус описанной окружности равен

$$R_{ACD}=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}.$$

Подставим найденное значение $$AC$$ и угол $$\angle ADC=45^\circ$$:

$$R_{ACD}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sin 45^\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}.$$