Упр.909 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 909. Постройте треугольник, гомотетичный данному тупоугольному треугольнику, если центром гомотетии является центр окружности, описанной около треугольника, коэффициент гомотетии k=-2.

Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. При гомотетии с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-2$$ каждая вершина переходит в точку, лежащую на прямой, проходящей через центр гомотетии и данную вершину, но по другую сторону от центра.

Значит, нужно построить точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ так, чтобы выполнялись условия:

$$A’ \in AO,\quad B’ \in BO,\quad C’ \in CO,$$

и

$$OA’ = 2\,OA,\quad OB’ = 2\,OB,\quad OC’ = 2\,OC.$$

Так как коэффициент гомотетии отрицательный, точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ должны лежать на продолжениях лучей $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ за точку $$O$$, то есть $$O$$ находится между каждой исходной вершиной и её образом.

Соединим точки $$A’B’C’$$. Получим треугольник, гомотетичный данному.

Ответ

Треугольник $$A’B’C’$$, где $$A’ \in AO$$, $$B’ \in BO$$, $$C’ \in CO$$, точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат по другую сторону от $$O$$ относительно $$A$$, $$B$$, $$C$$ и удовлетворяют условиям $$OA’ = 2\,OA$$, $$OB’ = 2\,OB$$, $$OC’ = 2\,OC$$.