Упр.900 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 900. На рисунке 289 СВ=CD, угол ACB=угол ACD. Докажите, что точки В и D симметричны относительно прямой АС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$BCD$$. По условию $$CB=CD$$, значит, он равнобедренный с основанием $$BD$$.

Проведём прямую $$AC$$ и обозначим точку пересечения прямых $$AC$$ и $$BD$$ через $$H$$, то есть $$H\in AC$$ и $$H\in BD$$.

Так как $$\angle ACB=\angle ACD$$, то углы $$\angle BCH$$ и $$\angle DCH$$ дополняют их до развернутого угла:

$$\angle BCH=180^\circ-\angle ACB,$$

$$\angle DCH=180^\circ-\angle ACD.$$

Следовательно, $$\angle BCH=\angle DCH$$.

В равнобедренном треугольнике $$BCD$$ равные углы при основании означают, что прямая $$CH$$ является биссектрисой угла $$BCD$$. Но в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, одновременно является и высотой, и медианой. Значит,

$$CH\perp BD,$$

$$BH=HD.$$

Итак, прямая $$AC$$ проходит через середину отрезка $$BD$$ и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром к $$BD$$. Следовательно, точки $$B$$ и $$D$$ симметричны относительно прямой $$AC$$.