Упр.894 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите косинус угла между векторами $$a=3m+n$$ и $$b=m-2n$$, если $$|m|=|n|=1$$ и $$m\perp n$$.

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a=3\vec m+\vec n$$ и $$\vec b=\vec m-2\vec n$$:

$$\vec a\cdot \vec b=(3\vec m+\vec n)(\vec m-2\vec n) =3\vec m\cdot \vec m-6\vec m\cdot \vec n+\vec n\cdot \vec m-2\vec n\cdot \vec n.$$

Так как $$|\vec m|=|\vec n|=1$$ и $$\vec m\perp \vec n,$$ то $$\vec m\cdot \vec n=0,$$ $$\vec m\cdot \vec m=1,$$ $$\vec n\cdot \vec n=1.$$ Тогда

$$\vec a\cdot \vec b=3\cdot 1-6\cdot 0+0-2\cdot 1=1.$$

Найдём модули векторов:

$$|\vec a|=\sqrt{(3\vec m+\vec n)^2}=\sqrt{9|\vec m|^2+|\vec n|^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},$$

$$|\vec b|=\sqrt{(\vec m-2\vec n)^2}=\sqrt{|\vec m|^2+4|\vec n|^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$$

Используем формулу скалярного произведения:

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b).$$

Тогда

$$1=\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}\cdot \cos\angle(\vec a,\vec b),$$

откуда

$$\cos\angle(\vec a,\vec b)=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt2}{10}$$