Упр.892 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 892. Найдите косинусы углов треугольника ABC, если A(-3; -4), В(2; -3), С(3; 5). Установите вид треугольника.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по координатам вершин:

$$\overrightarrow{AB}=(2-(-3),\,-3-(-4))=(5,1), \quad |AB|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$$
$$\overrightarrow{BC}=(3-2,\,5-(-3))=(1,8), \quad |BC|=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{65}$$
$$\overrightarrow{AC}=(3-(-3),\,5-(-4))=(6,9), \quad |AC|=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}$$

Теперь вычислим косинусы углов треугольника по формуле

$$\cos \angle = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$$

$$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|} =\frac{5\cdot 6+1\cdot 9}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{117}} =\frac{39}{\sqrt{26\cdot 117}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|BA|\cdot |BC|} =\frac{(-5)\cdot 1+(-1)\cdot 8}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{65}} =\frac{-13}{\sqrt{26\cdot 65}} =-\frac{\sqrt{10}}{10}$$

$$\cos \angle C=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|CA|\cdot |CB|} =\frac{(-6)\cdot (-1)+(-9)\cdot (-8)}{\sqrt{117}\cdot \sqrt{65}} =\frac{78}{\sqrt{117\cdot 65}} =\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Так как $$\cos \angle B<0$$, то угол $$B$$ тупой. Следовательно, треугольник $$ABC$$ — тупоугольный.