Упр.888 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 888. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены такие точки D и Е соответственно, что AD:DC=1:2, BE:ЕС=2:1. Выразите: 1) векторы ВС, АВ, АС, АЕ и CD через векторы BE=а и AD=b; 2) векторы АВ, ВС и АС через векторы АЕ=а и CD=b.

1) Пусть $$\overrightarrow{BE}=\vec a$$, $$\overrightarrow{AD}=\vec b$$.

Так как $$BE:EC=2:1$$, то $$\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BE}=\frac{3}{2}\vec a.$$

Так как $$AD:DC=1:2$$, то $$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}=3\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=3\vec b+\frac{3}{2}\vec a.$$

Кроме того, $$\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\vec a,$$ поэтому

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=3\vec b+\frac{3}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec a=3\vec b+\vec a.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\vec b=-\left(3\vec b+\frac{3}{2}\vec a\right)+\vec b=-\frac{3}{2}\vec a-2\vec b.$$

Итак,

$$\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}\vec a,\quad \overrightarrow{AB}=3\vec b,\quad \overrightarrow{AC}=3\vec b+\frac{3}{2}\vec a,\quad \overrightarrow{AE}=3\vec b+\vec a,\quad \overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}\vec a-2\vec b.$$

2) Пусть теперь $$\overrightarrow{AE}=\vec a$$, $$\overrightarrow{CD}=\vec b$$.

Из $$BE:EC=2:1$$ получаем

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$$

Из $$AD:DC=1:2$$ имеем

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}.$$

Подставим это в первое равенство:

$$\overrightarrow{AB}=\vec a-\frac{2}{3}\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\vec b\right).$$

Тогда

$$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}=\vec a+\frac{2}{3}\vec b,$$

откуда

$$\overrightarrow{AB}=\frac{3}{5}\left(3\vec a+2\vec b\right).$$

Теперь

$$\overrightarrow{BC}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\vec b=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}\left(3\vec a+2\vec b\right)-\vec b=-\frac{3}{5}\left(2\vec a+3\vec b\right).$$

И, наконец,

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}\left(3\vec a+2\vec b\right)-\frac{3}{5}\left(2\vec a+3\vec b\right)=\frac{3}{5}\left(\vec a-\vec b\right).$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}\vec a,\ \overrightarrow{AB}=3\vec b,\ \overrightarrow{AC}=3\vec b+\frac{3}{2}\vec a,\ \overrightarrow{AE}=3\vec b+\vec a,\ \overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}\vec a-2\vec b.$$

2) $$\overrightarrow{AB}=\frac{3}{5}(3\vec a+2\vec b),\ \overrightarrow{BC}=-\frac{3}{5}(2\vec a+3\vec b),\ \overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}(\vec a-\vec b).$$