Упр.887 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) векторы АМ и АК через векторы АВ=а и AD=b;
2) векторы АВ и AD через векторы АМ=m и АК=n.

Обозначим $$\overrightarrow{AB}=\vec a$$, $$\overrightarrow{AD}=\vec b$$. Тогда в параллелограмме $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b$$, $$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a$$.

1) Найдём векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{AK}$$:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{BC}=\vec a+\frac14\vec b,$$

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AD}+\frac13\overrightarrow{DC}=\vec b+\frac13\vec a.$$

Значит,

$$\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac14\vec b,\qquad \overrightarrow{AK}=\vec b+\frac13\vec a.$$

2) Теперь пусть $$\overrightarrow{AM}=\vec m$$, $$\overrightarrow{AK}=\vec n$$. Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\vec m-\frac14\overrightarrow{BC}=\vec m-\frac14\overrightarrow{AD},$$

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}=\vec n-\frac13\overrightarrow{DC}=\vec n-\frac13\overrightarrow{AB}.$$

Подставим второе выражение в первое:

$$\overrightarrow{AB}=\vec m-\frac14\left(\vec n-\frac13\overrightarrow{AB}\right),$$

$$\overrightarrow{AB}=\vec m-\frac14\vec n+\frac1{12}\overrightarrow{AB},$$

$$\frac{11}{12}\overrightarrow{AB}=\vec m-\frac14\vec n,$$

$$\overrightarrow{AB}=\frac{12}{11}\left(\vec m-\frac14\vec n\right)=\frac1{11}(12\vec m-3\vec n)=\frac3{11}(4\vec m-\vec n).$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AD}=\vec n-\frac13\overrightarrow{AB}=\vec n-\frac13\cdot \frac3{11}(4\vec m-\vec n),$$

$$\overrightarrow{AD}=\vec n-\frac1{11}(4\vec m-\vec n)=\frac1{11}(12\vec n-4\vec m)=\frac4{11}(3\vec n-\vec m).$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac14\vec b,\qquad \overrightarrow{AK}=\vec b+\frac13\vec a.$$
2) $$\overrightarrow{AB}=\frac3{11}(4\vec m-\vec n),\qquad \overrightarrow{AD}=\frac4{11}(3\vec n-\vec m).$$