Упр.884 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) BA+CD-CB; 2) AB-DA-BD+CD; 3) AD-BA-AC.

Подробный ответ

Используем свойства векторов в параллелограмме: противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, \qquad \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}, \qquad \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AE}.$$

1) Преобразуем выражение:

$$ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}. $$

Так как в параллелограмме $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA},$$ получаем

$$ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}. $$

По правилу сложения векторов это равно вектору $$\overrightarrow{BE}$$.

2) Аналогично:

$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}. $$

Так как $$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}$$, а в параллелограмме $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC},$$ то

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}. $$

3) Рассмотрим выражение:

$$ \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}. $$

Но в параллелограмме $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC},$$ значит

$$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}. $$