Упр.882 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 882. Две вершины прямоугольника ABCD — точки А(3; 2) и В(3; -4). Модуль вектора BD равен 10. Найдите координаты точек С и D.

Подробный ответ

Так как точки $$A(3;2)$$ и $$B(3;-4)$$ имеют одинаковую абсциссу, то сторона $$AB$$ вертикальна. В прямоугольнике соседняя сторона $$AD$$ перпендикулярна $$AB$$, значит она горизонтальна, то есть у точки $$D$$ ордината равна $$2$$.

Пусть $$D(x;2)$$. Тогда по условию $$|BD|=10$$, значит

$$\sqrt{(x-3)^2+(2-(-4))^2}=10.$$

Отсюда

$$\sqrt{(x-3)^2+36}=10,$$

$$ (x-3)^2+36=100,$$

$$ (x-3)^2=64,$$

$$ x-3=\pm 8.$$

Следовательно,

$$x=11 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

Значит, возможны две точки $$D$$: $$D(11;2)$$ или $$D(-5;2)$$.

Координаты точки $$C$$ находим по свойству прямоугольника: противоположные стороны параллельны, поэтому $$C$$ имеет ту же абсциссу, что и $$D$$, а ту же ординату, что и $$B$$.

Тогда:

если $$D(11;2)$$, то $$C(11;-4)$$;

если $$D(-5;2)$$, то $$C(-5;-4)$$.