Упр.882 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Две вершины прямоугольника $$ABCD$$ — точки $$A(3; 2)$$ и $$B(3; -4)$$. Модуль вектора $$\overrightarrow{BD}$$ равен $$10$$. Найдите координаты точек $$C$$ и $$D$$.

Подробный ответ

Так как точки $$A(3;2)$$ и $$B(3;-4)$$ имеют одинаковую абсциссу, то сторона $$AB$$ вертикальна. В прямоугольнике соседняя сторона $$AD$$ перпендикулярна $$AB$$, значит она горизонтальна, то есть у точки $$D$$ ордината равна $$2$$.

Пусть $$D(x;2)$$. Тогда по условию $$|BD|=10$$, значит

$$\sqrt{(x-3)^2+(2-(-4))^2}=10.$$

Отсюда

$$\sqrt{(x-3)^2+36}=10,$$

$$(x-3)^2+36=100,$$

$$(x-3)^2=64,$$

$$x-3=\pm 8.$$

Следовательно,

$$x=11 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

Значит, возможны две точки $$D$$: $$D(11;2)$$ или $$D(-5;2)$$.

Координаты точки $$C$$ находим по свойству прямоугольника: противоположные стороны параллельны, поэтому $$C$$ имеет ту же абсциссу, что и $$D$$, а ту же ординату, что и $$B$$.

Тогда:

если $$D(11;2)$$, то $$C(11;-4)$$;

если $$D(-5;2)$$, то $$C(-5;-4)$$.