Упр.875 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки $$A(1; 2)$$ и $$B(3; 6)$$. Принадлежит ли этой окружности точка $$C(-3; 4)$$?

Так как центр окружности лежит на оси ординат, его координаты имеют вид $$O(0;y).$$

Поскольку точки $$A(1;2)$$ и $$B(3;6)$$ принадлежат окружности, то расстояния от центра до этих точек равны:

$$OA=OB.$$

Составим уравнение:

$$\sqrt{1^2+(y-2)^2}=\sqrt{3^2+(y-6)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$1+(y-2)^2=9+(y-6)^2.$$

Раскроем скобки:

$$1+y^2-4y+4=9+y^2-12y+36.$$

$$-4y+5=-12y+45.$$

$$8y=40,$$

$$y=5.$$

Значит, центр окружности имеет координаты $$O(0;5).$$

Найдём радиус:

$$OA=\sqrt{(1-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.$$

Тогда уравнение окружности:

$$x^2+(y-5)^2=10.$$

Проверим, принадлежит ли точка $$C(-3;4)$$ этой окружности:

$$(-3)^2+(4-5)^2=9+1=10.$$

Получилось верное равенство, значит, точка $$C$$ принадлежит данной окружности.

Ответ

Да, принадлежит.