Упр.874 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 874. Установите, является ли отрезок CD диаметром окружности (x+2)^2+(y-3)^2=52, если С(-8; 7), D(4; -1).

Подробный ответ

Найдём центр окружности и проверим, лежат ли точки $$C$$ и $$D$$ на этой окружности.

Из уравнения $$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=52$$ следует, что центр окружности имеет координаты $$O(-2;3)$$.

Проверим точку $$C(-8;7)$$:

$$(-8+2)^2+(7-3)^2= (-6)^2+4^2=36+16=52.$$

Значит, $$C$$ принадлежит окружности.

Проверим точку $$D(4;-1)$$:

$$ (4+2)^2+(-1-3)^2=6^2+(-4)^2=36+16=52.$$

Значит, $$D$$ тоже принадлежит окружности.

Теперь найдём середину отрезка $$CD$$:

$$x_M=\frac{-8+4}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{7+(-1)}{2}=3.$$

Следовательно, $$M(-2;3)$$ — середина отрезка $$CD$$ и одновременно центр окружности. Значит, отрезок $$CD$$ проходит через центр окружности, то есть является её диаметром.