Упр.873 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 873. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки A(5; 1), В(9; -2), С(7; 2), — прямоугольный, и составьте уравнение окружности, описанной около него.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(9-5)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,$$
$$BC=\sqrt{(9-7)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20},$$
$$AC=\sqrt{(7-5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.$$

Проверим теорему Пифагора:

$$AB^2=25,\quad BC^2=20,\quad AC^2=5,$$
$$BC^2+AC^2=20+5=25=AB^2.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, причём прямой угол лежит при вершине $$C$$.

Найдём центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике он — середина гипотенузы $$AB$$.

$$M\left(\frac{5+9}{2},\frac{1+(-2)}{2}\right)=\left(7,-\frac12\right).$$

Радиус окружности равен расстоянию от центра $$M$$ до любой вершины, например до точки $$A$$:

$$R^2=(7-5)^2+\left(-\frac12-1\right)^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}.$$

Тогда уравнение описанной окружности имеет вид:

$$(x-7)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac{25}{4}.$$