Упр.870 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 870. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(—12; 6), В(0; 11), С(5; —1), О(—7; -6) является квадратом.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(0-(-12))^2+(11-6)^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13,$$

$$BC=\sqrt{(5-0)^2+(-1-11)^2}=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13,$$

$$CD=\sqrt{(-7-5)^2+(-6-(-1))^2}=\sqrt{(-12)^2+(-5)^2}=\sqrt{169}=13,$$

$$DA=\sqrt{(-12-(-7))^2+(6-(-6))^2}=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{169}=13.$$

Значит, все стороны равны.

Проверим, что один из углов прямой. Найдём векторы

$$\overrightarrow{AB}=(12,5), \qquad \overrightarrow{BC}=(5,-12).$$

Их скалярное произведение равно

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=12\cdot 5+5\cdot(-12)=60-60=0.$$

Следовательно, $$AB \perp BC,$$ то есть $$\angle ABC=90^\circ.$$