Упр.87 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) AC=2 см, ВС=1 см, угол B=135°;
2) АС=v2 см, ВС=v3 см, угол В=45°.
Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}.$$

Отсюда

$$\sin \angle A=\frac{BC\cdot \sin \angle B}{AC}.$$

1) $$AC=2\text{ см},\quad BC=1\text{ см},\quad \angle B=135^\circ.$$

Тогда

$$\sin \angle A=\frac{1\cdot \sin 135^\circ}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Следовательно,

$$\angle A=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}\approx 21^\circ.$$

Так как $$\sin \angle A=\sin(180^\circ-\angle A),$$ то второе значение угла:

$$180^\circ-21^\circ=159^\circ.$$

Но при $$\angle B=135^\circ$$ сумма углов треугольника не может быть больше $$180^\circ$$, значит $$159^\circ$$ не подходит. Поэтому решение одно.

2) $$AC=\sqrt{2}\text{ см},\quad BC=\sqrt{3}\text{ см},\quad \angle B=45^\circ.$$

Тогда

$$\sin \angle A=\frac{\sqrt{3}\cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит,

$$\angle A=60^\circ$$

или

$$\angle A=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Оба значения подходят, так как в первом случае $$60^\circ+45^\circ<180^\circ$$, а во втором случае $$120^\circ+45^\circ<180^\circ$$. Следовательно, задача имеет два решения.