Упр.867 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 867. Вершинами треугольника являются точки A(-4; 1), В(-2; 4) и С(0; 1). Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и найдите его площадь.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB=\sqrt{(-2-(-4))^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},$$
$$BC=\sqrt{(0-(-2))^2+(1-4)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},$$
$$AC=\sqrt{(0-(-4))^2+(1-1)^2}=\sqrt{4^2+0^2}=4.$$

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Найдём его площадь. Возьмём основание $$AC$$. Точка $$M$$ — середина отрезка $$AC$$:

$$x_M=\frac{-4+0}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{1+1}{2}=1.$$

Тогда $$BM$$ — высота треугольника, так как в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой. Найдём её длину:

$$BM=\sqrt{(-2-(-2))^2+(4-1)^2}=\sqrt{0^2+3^2}=3.$$

Теперь вычислим площадь:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6.$$