Упр.866 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 866. К окружности, радиус которой равен R, проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей из дуг, концами которых являются точки касания.

Подробный ответ

Пусть точки касания касательных с окружностью — $$A$$ и $$B$$, а точка пересечения касательных — $$C$$. Тогда $$CA=CB$$, а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: $$OA\perp CA$$, $$OB\perp CB$$.

Так как угол между касательными равен $$60^\circ$$, то в четырёхугольнике $$AOCB$$

$$\angle AOB=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Площадь сектора $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{3}.$$

Найдём хорду $$AB$$ по теореме косинусов в треугольнике $$AOB$$:

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB $$

$$ AB^2=R^2+R^2-2R^2\cos120^\circ=2R^2+R^2=3R^2, $$

значит,

$$AB=R\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$CA=CB$$, то он равнобедренный. Кроме того,

$$\angle ACB=60^\circ,$$

следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний, и

$$AC=BC=AB=R\sqrt{3}.$$

Тогда его площадь:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin\angle ACB $$

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot R\sqrt{3}\cdot \sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot 3R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}. $$

Искомая фигура ограничена касательными и меньшей дугой $$AB$$, поэтому её площадь равна площади треугольника $$ABC$$ плюс площади сектора $$AOB$$ без площади треугольника $$AOB$$:

$$ S=S_{ABC}+S_{AOB}-S_{AOB}^{\triangle} $$

где

$$ S_{AOB}^{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB =\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot \sin120^\circ =\frac{R^2\sqrt{3}}{4}. $$

Тогда

$$ S=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4} =R^2\sqrt{3}+\frac{\pi R^2}{3} =\frac{R^2(3\sqrt{3}+\pi)}{3}. $$